空间两射影对应点列形成的单叶双曲面

2012-07-07刘阜平

图学学报 2012年5期

刘阜平，丁勇

（太原理工大学，山西太原 030024）

单叶双曲面是由三维空间中不相交的二直线为底的两射影对应点列l1（I1，II1，Ⅲ1…），l2（I2，Ⅱ2，Ⅲ2…）中的对应点连线包络而成，如图1所示。与两仿射对应点列相比较，两射影对应点列的特点是分别有一对固对非对应点，称为中心。还有一对对应的、且对称于中心的“等距”点对和，他们是二射影对应点列异向共底对合后的两对对应二重点。单叶双曲面的正投影图表示，截交线形状与这一对中心，“等距”点对有密切关系。

1 二射影对应点列的特点及作图

如图1所示，空间中两射影对应点列具有如下特点：

1）两射影对应点列正投影（或平行投影）后仍为射影对应点列，且对应关系保持不变，中心仍然是一对中心。这一点可以用射影对应链来证明[2]。证略。

2）平行两射影对应点列异向时，对应点连线包络成椭圆，特殊情况为圆[3]。同向时，对应点连线包络成双曲线。

图1 两射影点列确定的单叶双曲面正投影图

3）射影点列作为直线可以看着被中心O分成两部分。一对对应射影点列和另一对对应射影点列的不同可以用“射影比”r的大小来表示。由此给出两射影对应点列对应点的根轴作图法，如图2所示。这种作图法与传统作图法相比较，更有利于计算机自动生成射影点列的对应点。

图2 两射影点列根轴作图法

2 单叶双曲面的正投影图表示法

如图1所示，空间二射影对应点列l1（I1，II1，Ⅲ1…），l2（I1，II2，Ⅲ2…）形成的单叶双曲面的直线型表示法可以用正投影图来表示[4]。其中在正投影面V上，表示了两射影对应点列的真实长度，即射影比r；交叉二直线l1l2的夹角θ，即二线角。适当选取水平投影面，就可以满足在H面上，不仅表示两射影对应点列l1l2的距离a（即二线距），还可以使得两点列的“等距”点对X1Y1、X2Y2水平投影后仍然是新点列的“等距”点对。显然，点列 l1l2水平投影后新点列的射影比不等于r，我们可以用rh来表示。对于单叶双曲面的正投影图表示法，V、H面是必不可少的，也是唯一的。侧面投影面是否需要视情况而定。当然，在侧面投影面上，也能表示二线距a。

上述V、H两投影面体系的表达方法充分体现了两射影对应点列的实形性，为计算机绘图提供方便，而且兼顾到了单叶双曲面的V面投影图上双曲线投影特征（l1′、l2′是该双曲线的两条渐进线），还可以表示H面上“喉圆”（或者“喉椭圆”）的投影特征。

3 单叶双曲面的分类

二射影对应点列的一对中心O1O2可以是l1l2的公垂线，也可以不是。

如果O1O2是l1l2公垂线，形成的单叶双曲面可称为正单叶双曲面。他还可以分为两种情况：

第 1种，如图 3所示，二线距 a＝2rh，l1l2对应点的连线水平投影包络成圆，可简称为“圆形”。它就是回转单叶双曲面。

图3 水平投影包络成圆

第 2种，如图 1所示，二线距 a≠2rh，l1l2对应点的连线水平.投影包络成正椭圆，可简称为“正椭圆形”。

如果O1O2不是l1l2公垂线，形成的单叶双曲面称为斜单叶双曲面，如图4所示。这时l1l2对应点的连线水平投影包络成斜椭圆，可简称为“斜椭圆形”。

4 单叶双曲面截交线形状分析

1）截平面为正平面

如图3、图4所示。单叶双曲面截平面为正平面时，截交线为双曲线，双曲线的两条渐近线为l1′ l2′，如果截平面通过l1（或l2）时，截交线退化为相交的两直线 l1′，l2′。

如图5所示，对于“圆形”单叶双曲面，截平面通过O1O2中垂面R时，截交线是完整的。对称于R的截平面R1、R2得到的双曲线出现不完整现象，且各为“一半”，这种现象在“正椭圆形”中也存在，图略。但是，这种现象在“斜椭圆形”单叶双曲面中不存在，如图4所示。

图4 水平投影包络成斜椭圆

图5 R1、R2平面截得双曲线出现不完整情况Q平面截交线出现退化

2）截平面为水平面

如图 3所示，对于“圆形”单叶双曲面，通过O1O2的水平面（如S面）为截平面时，得到截交线为喉圆，对称于S的平面（如S1和S2）为截平面时，截交线重合为一个圆。O1O2的水平投影连线，“等距”点 X1X2，Y1Y2水平投影中点连线，是圆的两条垂直的直径方向。“正椭圆形”单叶双曲面类似。如图1所示。

如图4所示，对于“斜椭圆形”单叶双曲面，O1O2的水平投影连线方向（同时也是“等距”点X1X2，Y1Y2水平投影连线方向），和l1（或l2）水平投影是椭圆的一对共轭直径方向，但不是长短轴方向。在图4(a)中，如果让l1（或 l2）沿Z轴移动，水平投影包络成的斜椭圆形状不变，水平投影截交线椭圆长短轴方向不变，如图4(b)所示。

3）截平面为侧平面

如图 5所示，对于“圆形”单叶双曲面，通过 O1O2的侧平面为截平面时，截交线为双曲线，双曲线的两条渐近线为“等距”点X1X2、Y1Y2的侧面投影，截平面Q通过X1X2（或Y1Y2），截交线退化为相交的两直线 X1″X2″、Y1″Y2″。

对于斜单叶双曲面，由于 l1l2二交叉直线的“等距”点X1X2、Y1Y2不再是侧面投影新点列的等距点，双曲线的两条渐近线必须另求新点列的等距点。

4）两个特殊的截平面

如图4所示，对于二射影点列对应点的连线，其中两条非常特别，就是过中心O1（或O2）作l2（或 l1）的平行线。分别用 k1、k2表示，为了叙述方便，称这两条直线与 l1、l2直线组成的平面为主平面，分别用 Pα(k2，l1)，Tα(k1，l2)表示。称k1、k2为主素线。任意二射影对应点列形成的单叶双曲面，主平面PαTα是唯一的。平行于主平面的截平面得到的截交线为抛物线。抛物线的轴线为l2（或l1）方向。通过主平面的截平面，截交线退化为两条平行线。如图6所示。

这种现象可以解释为：如图 4(b)所示，单叶双曲面可以看成二交叉直线 l1l2为底的二射影对应面束中对应平面相交的直线形成，然后二射影对应面束被一个平行于底l2的截平面截切，得到非对固的对应线束，非对固的线束对应线交点形成抛物线[5]。

如图6所示，在正单叶双曲面中，属于l2的主平面 Pα作为截平面，得到的截交线退化成二直线l2k1，对称于Pα面的截平面P1P2得到的抛物线对称于 O1O2。

斜椭圆形单叶双曲面没有这种对称性。

图6 平行于主平面的截平面得到抛物线截交线

5 二射影对应点列l1l2底的互换

二射影对应点列l1l2形成的单叶双曲面，被两个主平面分成两族，如图7所示。如果任取两条交叉的素线 lx1（Ⅲ1Ⅲ2）与 lx2（Ⅴ1Ⅴ2）也可以构成新的射影对应点列，也有新的一对中心Ox1Ox2，这时属于新中心的两对主素线 kx1kx2是原单叶双曲面上所没有的，所以应该认为这时组成的是新的单叶双曲面。