李金，王兆清

(1.山东建筑大学 理学院，山东 济南 250101;2.山东建筑大学 工程力学研究所，山东 济南 250101)

0 引言

考虑如下Cauchy 型奇异积分

近年来，随着边界元方法的飞速发展，有许多方法用来计算该积分，如高斯积分［2］、奇异分离方法［3］、牛顿— 科特斯公式方法［4－7］等。文献［2］研究了用高斯法计算该奇异积分，并得到相应的误差估计。文献［7］给出了牛顿科特斯公式的准确误差估计;在最近的文献［8－12］中，基于半离散方法，给出了任意阶牛顿科特斯公式的超收敛现象，并且证明了其超收敛现象发生在某个特殊函数的零点处。

本文采用经典矩形公式，基于误差展开式，证明其超收敛现象发生在误差展开式的第一项取为零时，此时得到收敛阶较一般收敛阶高。

1 主要结论

区间［a，b］上步长h=(b－a)/n 的一致剖分为a=x0＜x1＜… ＜xn－1＜xn=b.定义线性变换

将子区间［xi，xi+1］变换到参考单元［－1，1］上，定义

在(1)中，用(4)式代替f(x)，则有

其中:En(f;s)为误差泛函，科特斯系数为

本文主要结论如下:

其中:S0(τ)为特殊函数，及

其中:C 表示与h 和s 无关的常数，以及

由上述定理，当误差展开式(7)中第一项中的特殊函数S0(τ)=0 时，有

此时，误差阶为O(h2)，我们称之为超收敛现象。

2 定理证明

这一部分，我们给出定理1 的证明，首先引入如下记号，C 表示与h 和s 无关的常数，在不同的地方其值可能不同。定义

引理1 设s ∈［xm，xm+1］，及s=xm+ (τ +1)h/2，ci=2(s－xi)/h－1，0 ≤i ≤n－1，则有

证明:根据定义(2)和线性变换(3)有

第二个等式类似得到证明。

引理2 对于τ ∈(－1，1)，有

证明:根据φ'(t)定义及s=xm+h(τ +1)/2=a +(m +(τ +1)/2)h，即2(s－a)/h=τ +2m +1，则有

则有(13)，命题得证。

设

引理3 设f(x)∈C2［a，b］，以及Em(x)定义为(15)，则有

证明:由于f(x)∈C2［a，b］，则Em(x)∈C2［a，b］，由

命题得证.

2.1 定理1 的证明

根据Em(x)的定义(16)和(5)有: