代金辉

(山东工商学院数学系，山东烟台 264005)

0 引言

其中，yn×1=(y1，…，yn)是观测值向量，Xn×p是n×p设计矩阵，β是p×1未知系数向量，f是未知非参平滑项，e是独立同分布的随机向量误差项，均值为0协方差矩阵为σ2V.这里σ2已知或未知均可，V为n×n非负定阵，M为已知正常数.

对上述半参数回归模型中的非参项的估计方法，主要有样条估计、近邻估计、小波估计，核估计等.核估计是较早且较成熟的方法，但有一定的缺陷，为此 Fan 和 Gijbels[1]，Hoover等[2]提出局部多项式方法拟合非参数回归中的未知函数，能很好地弥补核估计的不足，同时保留了它的优点.笔者受此启发，文中对非参数部分进行局部线性拟合，对线性部分采用约束最小二乘法，构造出的估计量具有很好的性质.

对于半参模型在无约束情形下已有了很多结果，见文献[3～5].而参数的模长受约束的情形还未得到研究，本文首先提出了范数约束问题，并针对模型给出了参数的约束最小二乘估计，并近一步研究了该估计的一些性质如有偏性，及协方差的单调性质.考虑带非参平滑项的约束半参回归模型

1 范数约束参数估计

对模型(1)，由于V＞0，故存在唯一正定对称矩阵

(1)若S(β)的无条件极小值使得β′β≤M2，则该极小值就是所需解.

(2)若S(β)的无条件极小值使得 β′β＞M2(事实上，当设计阵病态时，总会是这种情况)，则根据β′β≤M2知，该约束极小值必在β′β=M2处取到.即β的约束估计问题转化为求解下述惩罚最小二乘问题:

则

由(4)式得到

于是

由于X′V－1X＞0，故存在正交矩阵Q，使得Q′X′V－1XQ=Λ=diag(λ1，……，λp)，其中 λi＞0，i=1，…，p由(7)式可得

可见，上述