向小华,吴晓玲,王春艳,王船海

(1.河海大学水文水资源学院,江苏南京 210098;2.河海大学水文水资源与水利工程科学国家重点实验室,江苏 南京 210098;3.北京中水新华国际工程咨询有限公司,北京 100044)

20世纪70年代以来,计算气体动力学在间断模拟方面取得了突破性进展.20世纪80年代后,Glaister等试图将气体力学中成熟的格式移植到水流计算中[1-3],也取得了一些进展,但所采用的数值方法大多侧重于理论研究,所研究的河道大都相当简单,所论述的方法不能直接应用于实际河道的计算.直到近年来才有一些将现代高精度方法应用于实际河道一维模拟的研究成果[4-6]出现.本文以通量差分裂方法为基础,提出了一种圣维南方程组的高精度离散方法.

1 基本方程

矩形断面棱柱河道圣维南方程组的矢量形式为

其中

式中:Ut——U 对时间t的导数;F(U)x——F(U)对空间 x的导数;h——水深;q——单宽流量;g——重力加速度;n——河段糙率;R——断面水力半径,可以近似用水深 h代替;zb——河底高程.方程(1)为散度形式,即数学上的守恒形式方程.该方程也可以写成非守恒形式

其中

式中:Ux——U对空间x的导数;U——对流速度.

2 数值方法

约定

式中fi,n表示控制体i中tn时刻变量f的值.

首先以简单的线性方程来说明通量差分裂的基本原理.一种波动从tn时刻传播至tn+1时刻的情况如图1所示,采用有限体积法,假设在tn时刻控制体内变量的分布如图1(a)所示,考虑常系数对流方程

式中 ¯u为平均对流速度,常数.

图1 波动传播情况Fig.1 Sketch of wave p ropagation

如果¯u＞0,波动正方向传播,tn→tn+1时刻的传播情……