席红旗， 郑喜英， 孔 波

(1.河南教育学院 信息技术系 河南 郑州 450046; 2.黄河科技学院 信息工程学院 数理部 河南 郑州 450005; 3.河南教育学院 数学系 河南 郑州 450046)

0 引言

有限域上的负循环码是Berlekamp[1]提出的，Wolfmann[2]研究了有限环Z4上的奇长的负循环码和单根负循环码，随后Dinh和López-Permouth[3]又将其推广到了有限链环上.目前特征为p的长为n的负循环码(p|n)(称为重根负循环码)成了研究的热点， Blackford[4]研究了Z4上长度为偶数的重根负循环码,并用变换的方法给出了他们的分类,Dinh[5-6]研究了Galois环GR(2a,m)上长为2s的负循环码，并给出了Z2a上长为2s的负循环码的Hamming距离、lee距离和Euclidean距离.Slalgean[7]研究了有限链环上的重根循环码及重根负循环码，证明了有限链环上的重根循环码一般情况下不是主理想生成的,GR(2a,m)上偶长的负循环码是主理想生成的.开晓山[8]研究了Z2a上任意偶长的负循环码, 并给出了Z2a上长为2k的负循环码的Hamming距离和齐次距离.郑喜英[9]研究了有限链环上的重根循环码，给出了其上任一循环码的生成情况.罗维[10]给出了Galois环GR(pm,n)上长为pk循环码的生成情况.本文研究了Zpa[x]上的重根负循环码的生成情况.

1 有限链环上的多项式环及其理想

r=r0+er1+…+ek-1rk-1,ri∈S,i=0,1,…,k-1.

2 环Zpα上的重根负循环码

定理2令F为特征为p的域(p非零且为素数),n=pβl且p不能整除l.(i) 若l为奇数，则xn+1=(x+1)pβp1(xpβ)…pr(xpβ)，其中(x+1)pβ,p1(xpβ), …,pr(xpβ)是xpβl+1在F[x]中的分解且是互素的.(ii) 若l为偶数，则xn+1=(q1(x))pβ…(qr(x))pβ，(q1(x))pβ…(qr(x))pβ是xpβl+1在F[x]中的分解且(q1(x))pβ,…,(qr(x))pβ是互素的.

证明(i) 若l为奇数，则

xn+1=(xpβ)l+1=(xpβ+1)(xpβ(l-1)-xpβ(l-2)+…-xpβ+1)=(x+1)pβ(xpβ(l-1)-xpβ(l-2)+…-xpβ+1).

(xpβ)l-1-(xpβ)l-2+…-xpβ+1=p1(xpβ)…pr(xpβ).

因此在Zpα[x]中

xn+1=(xpβ+1)((xpβ)l-1-(xpβ)l-2+…-xpβ+1)=(xpβ+1)p1(xpβ)pr(xpβ).

xn+1=(q1(x))pβ…(qr(x))pβ.

令Z表示整数环,Zc=Z/cZ为模正整数c的整数剩余类环. 令Zc[x]为Zc上的多项式环,Zc[x]/〈xn+1〉表示由xn+1生成的理想〈xn+1〉上的多项式环的剩余类环.Zc[x]/〈xn+1〉的任何……