祁居攀

含参不等式“任意性”与“存在性”问题历来是高考考查的热点与难点，善于将此类问题转化为函数的最值问题是解题的关键所在．

题目：已知函数f(x)=2x3x+1,x∈(12,1］－13x+16,x∈［0,12］ 函数g(x)=a玸inπ6x－2a+2(a>0)，若存在x1,x2∈［0,1］，使得f(x1)=g(x2)成立，则实数a的取值范围是__________.

分析：本题从逻辑角度来看，它是一个存在性问题，若记函数f(x)的值域为F, g(x)的值域为G,则它们之间满足F∩G≠,因此，本题可转化为求两函数的值域问题．

解析：当x∈(0,12］时，f(x)是单调递减的一次函数，故f(x)∈［0,16］

当x∈(12,1］时，因f′(x)=4x3+6x2(x+1)2>0，f(x)是单调增函数，得f(x)∈(16,1］

综上所述，x∈［0,1］，f(x)∈［0,1］；

当x∈［0,1］时，π6x∈［0,π6］，又a>0，故g(x)是单调增函数，得g(x)∈［2－2a,2－32a］.

因函数f(x)的值域为F, g(x)的值域为G,则它们之间满足F∩G≠,解得12≤a≤43从而满足题意的实数a的取值范围是［12,43］．

探讨之一：若将本题条件“若存在x1,x2∈［0,1］，使得f(x1)=g(x2)成立”改为“若对于任意的x2∈［0,1］”，总存在x1∈［0,1］使得f(x1)=g(x2)成立，则实数a的取值范围是多少？

分析：任意的x2∈［0,1］”，总存在x1∈［0,1］使得f(x1)=g(x2)成立可转化为G罠．

解析：由条件得2－2a≥02－32a≤1 解得23≤a≤1.

探讨之二：能否将本题条件“若存在x1,x2∈［0,1］，使得f(x1)=g(x2)成立”改为“若对于任意的x1∈［0,1］”，总存在x2∈［0,1］使得f(x1)=g(x2)成立？

分析：对于任意的x1∈［0,1］”，总存在x2∈［0,1］使得f(x1)=g(x2)成立可转化为F罣．

解析：由条件得2－2a≤02－32a≥1 解得a∈,所以不能如此改编．

探讨之三：若将本题条件“若存在x1,x2∈［0,1］，使得f(x1)=g(x2)成立”改为“若存在x1,x2∈［0,1］，使得f(x1)≤g(x2)成立”，则实数a的取值范围是多少？

分析：存在x1,x2∈［0,1］，使得f(x1)≤g(x2)成立，可转化为f(x1)┆玬in≤g(x2)┆玬ax

解析：由条件只需2－32a≥0即a≤43．

探讨之四：若将本题条件“若存在x1,x2∈［0,1］，使得f(x1)=g(x2)成立”改为“若任意x1,x2∈［0,1］，使得f(x1)≤g(x2)成立”，则实数a的取值范围是多少？

分析：任意x1,x2∈［0,1］，使得f(x1)≤f(x2)成立，可转化为f(x1)┆玬ax≤g(x2)┆玬in

解析：由条件只需2－2a≥1即a≤12．

探讨之五：若将本题条件“若存在x1,x2∈［0,1］，使得f(x1)=g(x2)成立”改为“若对于任意的x1∈［0,1］”，总存在x2∈［0,1］使得f(x1)≤g(x2)成立，则实数a的取值范围是多少？……