吉冬林

数列问题的切入点是数列概念的两个方面,从项数与项的对应关系考虑,数列是有序排列的一列数,因而归纳递推是常用方法;从数列是散点函数的特征考虑,对应函数的性质是解决数列问题的另一途径,但两个方面的思路都基于“寻找相邻项关系”，这是解决任何数列问题的关键．对高三备考而言,以典型小题理清思路是很好的复习措施.

１．基于归纳递推的数列问题

与自然数相关的数学问题一般都可视为数列，这一点至关重要．例如“定义运算*：2*2=1，且n∈N*时,(2n+2)*2=3［(2n)*2］,则(2n)*2=?”这一问题的关键条件是n∈N*，而(2n)*2与(2n+2)*2恰恰反映了从n到n+1时(2n)*2值的变化关系，令a璶=(2n)*2,则{a璶}是等比数列．这类所谓的创新问题旨在考查对数列模型或者说是对数学符号的认知．随着n变化,“从n到n+1”简单理解即为“递推”．

例１ 数列{a璶},a1=2,a﹏+1=1+a璶1－a璶,则a1a2a3…a2012=?

分析：递推归纳可知｛a璶｝具有周期性变化的特征且Ｔ＝４，∴a1a2a3…a2012＝(a1a2a3a4)503=1

［变１］f(x)=［x［x］］(0≤x

分析：记g(n)=a璶，n=1,0≤x<1,f(x)=0,a1=1；n=2时，a2=a1+1…,从0≤x

本题源于归纳但不完全归纳常常导致错误且解题过程不严密，因而寻找相邻项关系是关键，叠加法源于等差数列通项公式的推导过程．另一典型问题“平面上n个圆两两相交但无三个圆共点(n≥3)，它们分平面成f(n)个区域，如f(x)=2009的根x0∈［k,k+1),则k=?”中f(n)=f(n－1)+2(n－1),类推可得f(n)=n2－n+2,设g(x)=x2－x－2007,ゞ(45)<0,g(46)>0,∴k=45．此外，凡a璶=a﹏－1+ゝ(n)型递推可用叠加法（f(n)=d即等差数列），a﹏+1猘璶=f(n)型递推可用迭乘法（f(n)=q时为等比数列），这些都是源于课本的方法．

［变２］a﹏+1=|a璶－1|,(1)a1=114,求a6;(2)若a1=a∈(k,k+1)，k∈N*,求数列{a璶}前３k项之和．（３）是否存在a1∈R,n0∈N*使得n≥n0时a璶恒为常数？如存在，求之．

分析：（１）归纳知a6=14；（２）1≤k0,k+1－a>0,从（１）的过程发现某些项之后的项只有两个数,这是解决本题的基础！……