李大章，顾和和，李研岩，齐星星

（1.中国矿业大学 环境与测绘学院，江苏 徐州221116；2.中国矿业大学江苏省资源环境信息工程重点实验室，江苏 徐州221116；3.上海中房测绘有限公司，上海200434）

0 引 言

在GPS精密单点定位中，精密星历的内插误差是影响其定位精度的主要误差源之一，卫星精密星历轨道误差就成为主要的误差源。将IGS提供的15min或5min间隔的精密卫星轨道加密到用户所需采样间隔时，需仔细考虑是否满足预期的精度要求［1］。若将插值方法用于测量方面，为了得到较高的定位或定轨精度，比较、研究不同的精密卫星轨道内插方法有着十分重要的意义。主要研究了拉格朗日插值和切比雪夫插值拟合法，并对两种方法进行了精度评定，作了对比分析。

1 GPS精密轨道钟差内插方法

1.1 拉格朗日多项式插值方法

若存在一个次数为n的多项式lk（x），在n个节点xi（i＝0，1，…，k－1，k＋1，…，n）上lk（x）的值为0，在节点xi上其值为1，lk（x）为节点xi（i＝0，1，…，n）上的拉格朗日插值基函数，通过节点值为0可以设lk（x）＝Ak（x－x0）（xx1）…（x－xk－1）（x－xk＋1）…（x－xn），Ak为待定系数，通过lk（xk）＝1可求出Ak，于是

取k＝0，1，2，…，n，得到n＋1个拉格朗日插值基函数［2］。

以l0（x），l1（x），…，ln（x）的线性组合表示的n次多项式为

设在时间间隔［t0，t0＋Δt］内的n＋1个节点［3］上的卫星钟差为：Z0，Z1，…，Zn，则在该时段内卫星的钟差可用拉格朗日插值公式来表示

利用式（4）对卫星钟差进行插值，得到观测时刻卫星的钟差，但是拉格朗日存在龙格现象，当n→∞时，如果插值点选取得不合适的话，函数li（t）在某些点不收敛于观测值，这种插值多项式次数增大反而不能更好地近似被插值的现象称为龙格现象；因此以拉格朗日插值为基础的算法应用受到了其影响［4］。

1.2 切比雪夫多项式插值方法

若x＝cosθ，则Tn＝cosnθ，0≤θ≤π，这是Tn（x）参数表示.利用三角公式可以将cosθ展成cosθ的一个n次多项式，故式（5）是x的n次多项式。其递推公式

式中：T0（x）＝1；T1（x）＝x.

由x＝cosθ，Tn＋1（x）＝cos（n＋1）θ，利用三角公式

由式（6）可推出T2（x）到T6（x）的表达式

假设需要在时间间隔［t0，t0＋Δt］内计算n阶切比雪夫多项式系数。其中t0为起始历元时刻，Δt为拟合时间区间的长度。将变量t∈ ［t0，t0＋Δt］变换成τ∈［－1，1］

则卫星钟差Z的切比雪夫多项式为

式中：n为切比雪夫多项式的阶数；CZi分别为钟差分量的切比雪夫多项式系数。

设Zk为观测值，则误差方程为：VZk＝，误差方程的矩阵向量表达式为：VZ＝BM－fZ，这是一个间接平差的误差方程的形式，为了求唯一解，采用最小二乘法［4］，使M满足VTV＝min.求得法方程为NM－U＝0式中：N＝BTB，U＝BTfZ.解得M＝N－1U.M各分量便为切比雪夫多项式拟合系数CZi.同理，对Y、Z分量完成上述类似的计算便可以得到关于某一GPS卫星在［t0，t0＋Δt］内各钟差分量切比雪夫多项式拟合系数CZi，利用这些系数根据以上式子就可以计算［t0，t0＋Δt］时间区间内任意时刻的卫星钟差［5］。

2 算例及结果分析

为了分析与比较两种内插方法的精度，选取了IGS数据中心2011年2月11日的二号卫星的15 min精密星历数据来进行钟差插值精度分析，因为内插方法可能会在样本端点处出现较大波动，内插时选定0：30到22：30这个时段，在这个时段内等间隔选取一些样本点，再根据这些样本点计算多项式系数，由多项式来每隔5min内插一次，并将采样间隔为30s中5min数据作为真值 ，将两者进行比较来分析内插的精度。

2.1 插值方法的最值、均值精度分析

由图1和表1可看出，在阶数从6到15的情况下，拉格朗日插值和切比雪夫拟合钟差的精度可以达到亚毫秒级，拉格朗日插值的最大误差为4.204e－10s，切比雪夫的最大误差为4.058e－10s；从中可以看出随着切比雪夫插值和拉格朗日插值阶数的增加，均值随之变大，最值跳动浮动变大，稳定性下降，精度变低；而这两种插值中，拉格朗日插值的精度相对较差，但两者比较差别并不显著。如表1所示拉格朗日插值的平均误差比切比雪夫插值的平均误差大，所以它的精度低一些。

图1 各阶插值方法的钟差误差

表1 各阶不同插值方法误差最值、均值精度比较

2.2 插值方法各阶数均方差比较分析

图2示出了等时间间隔下两种插值方法各阶数得出的钟差插值均方差精度。

图2 各阶插值方法的钟差均方差

由表2可看出在确定时间间隔为5min的情况下，拉格朗日多项式不同阶数的内插精度可由均方误差看出，6阶多项式内插的钟差插值的RMS为1.275e－10s，在各阶中为最小值，且随着阶数增加，RMS随之变大；同样切比雪夫插值在6阶时取得最小钟差插值的RMS为1.260e－10s，RMS随着阶数增加而增大；但是切比雪夫的整体RMS比拉格朗日的RMS低，说明切比雪夫的插值精度相对较高；从图2也可看出切比雪夫插值的钟误差曲线没有拉格朗日插值的光滑，出现这个结果的原因主要是由于偶数阶的插值精度高、奇数阶的插值精度低造成的，而其中切比雪夫插值受的影响要比拉格朗日插值受的影响大。

表2 间隔5min插值方法各阶数得出的钟差均方差比较

3 结 论

主要以IGS提供的30s间隔的钟差数据作为参考，通过拉格朗日多项式和切比雪夫多项式对IGS提供的15min的精密星历钟差进行5min间隔插值。从插值结果看，采用这两种插值方法对卫星钟进行内插时，当阶数比较低时插值精度差别不是很大，同样也说明在用多项式进行插值时并非阶数越高精度就越高。在实际应用中，显然，选择切比雪夫插值比拉格朗日插值精度要高一些，但如果选择适当的阶数这两种插值得到的卫星钟误差都能够达到一般工程精度要求。

［1］ 韩保民，欧吉坤.基于GPS非差观测值进行精密单点定位研究［J］.武汉大学学报·信息科学版，2003，28（4）：409－412.

［2］ 曹德欣，曹璎珞.计算方法［M］.2版 .徐州：中国矿业大学出版社，2001.

［3］ 洪 樱，欧吉坤，彭碧波.GPS精密星历和钟差三种内插方法的比较［J］.武汉大学学报，2006，31（6）：516－518.

［4］ 李庆扬，关 治，白峰杉.数值计算原理［M］.北京：清华大学出版社，2001.

［5］ 蔡艳辉，程鹏飞，李夕银.卫星坐标的内插和拟合［J］.全球定位系统，2003，28（3）：10－13