GPS高程拟合的应用＊

2012-04-26陈兰伟独知行张忠良马立斌

全球定位系统 2012年3期

陈兰伟，独知行，张忠良，马立斌

（1.山东科技大学测绘科学与工程学院，山东青岛266590；2.中铁二十局集团第四工程有限公司，山东青岛266061）

0 引言

随着GPS定位技术的广泛应用，人们已经能够在10－6～10－9的精度量级上简捷而经济地获得所测点位的平面精度，但却一直未能以相应的精度解求点的高程值［1］。原因是GPS所测得的高程是测站点相对于WGS－84椭球面的大地高，而我国采用的高程系统，是相对于似大地水准面的正常高系统，虽然，GPS能给出高精度的大地高，却由于没有一个具有相应精度高分辨率的似大地水准面模型，致使GPS大地高到GPS海拔高的转换过程中精度严重丢失。因此，有必要找出GPS点的大地高Hg和正常高程Hr的关系，并用一定的方法将Hg转换为Hr.

研究GPS高程的意义有两个方面：一是精确求定GPS点的正常高，二是求定高精度的似大地水准面［2］。要实现这两个目标，必须利用测区内足够数量、分布合理且比较均匀、大地高和正常高均已知的公共点来拟合似大地水准面。

为了精确的计算出一定区域内GPS点的正常高，主要讨论三种拟合方法，即二次曲面法、移动曲面法和多面函数法，结合玉铁铁路某段GPS控制网，应用三种水准拟合模型进行计算，对各模型拟合结果进行精度分析和残差比较，并对各模型的适用性进行探讨，为测量工作者在实际工作中寻找合适的拟合方法提供参考。

1 GPS高程拟合模型及其精度评定

1.1 多项式曲面拟合法

在小区域GPS网内利用多项式曲面拟合法进行GPS高程拟合，就是将似大地水准面看成曲面，将高程异常ζ表示为平面坐标相关的函数，通过网中起算点的已知高程异常来确定测区的似大地水准面形状，继而求出其余各点的高程异常［3］。在实际工程应用中普遍采用的是二次曲面，其数学模型为

式中：a0、a1、a2、a3、a4、a5为拟合待定参数；xi、yi为GPS点的平面坐标；εi为拟合误差。

这种方法要求区域内至少需要6个公共点，当公共点数n多于6个时，可列出相应的误差方程

其矩阵形式为

式中：

根据最小二乘法原理可求得

将求出的系数矩阵A带入式（3），可求出未知点的高程异常，再根据式（1）即可求出各点正常高。

1.2 移动曲面法

利用移动曲面法进行GPS高程拟合就是要通过计算未知点周围的若干数据点，建立一个相应的多项式来内插该点的值。移动曲面法实质上就是一种点逼近方法［4］，即在指定的半径为R的区域中，以内插点为圆心，并和其周围的已知点建立起一个拟合曲面，这个曲面在中心内插点上的值就是所求的内插值，同时这个有限区域会随着插值中心点的位置变化而移动［5］。现结合二次曲面法论述移动曲面法的一般性过程。

二次曲面模型如式（3）所示，因各已知数据点在最小二乘求解中所作贡献的大小与该点到插值中心点的距离远近有关，可对作为观测值的各高程异常按距离加权［6］，常采用的权函数式为

为消除离插值点较远的已知点的影响，可设定以判定式（6）来实现

在施工过程中，混凝土若出现配置不合理和易性差就是十分严重的问题。进行施工的过程中采用劣质混凝土就会出现混凝土压实不到位，造成了后期出现渗漏，由于质量差的混凝土防水性差，强度比较低，给后期施工带来难度。与此同时，就需要提高混凝土的防水性，就要使用防水卷材。它是由橡胶、沥青和其他材料制作的一种防水材料，也被叫做油毛毡或者油毡，最大的优势就是柔韧性和防水性强。如果在施工的过程中使用不符合标准的防水卷材，就起不到防水的效果和作用，同样会造成渗漏水。

式中R为一定值，通常选用已知点平均距离的2倍。

移动曲面法的误差方程为

根据最小二乘原理解带权的极小值问题得式（7）的解为

得出系数阵后，即可求出内插点的高程异常值，进而求得其正常高。

1.3 多面函数法

“任何数学表面和任何不规则的圆滑表面，总可用一系列有规则的数学表面的总和以任意精度逼近”［7］，这就是多面函数法的理论根据。应用到GPS高程拟合中，以此来解决根据数据点形成一个平差的数学曲面问题，可以得到高程异常函数［8］：

式中：ai为待定系数；Q（x，y，xi，yi）是x和y的二次核函数，其核在（xi，yi）处；ζ可由二次式的和确定。

理论上核函数是可以任意构造的，但在实际运用中一般采用具有对称结构的距离型：

式中：δ为平滑因子，用来对核函数进行调整；b一般可选某个非零实数，常取1／2或－1／2，当取1／2时，核函数为双曲面模型；取－1／2时，核函数为倒曲面模型。

式（9）的误差方程为

待定系数可根据已知点的高程异常值，按最小二乘原理求出

由待定系数即可代入式（9）计算各内插点的高程异常值。

多面函数法拟合高程异常，核函数和平滑因子的选择对拟合效果有重要的影响，对于每个区域都应认真研究并逐步的实验和改进。

1.4 精度评定

为了检查GPS高程拟合效果，一般在设计计算方案时，常会用一部分已知点作为公共点，而将另外一部分已知点作为检核点参与拟合计算，根据检核点的拟合值和已知值用式（13）计算其外符合精度M［9］

式中：n为已知检核点数；V为拟合值的残差。

2 GPS高程模型应用实例

实验采用玉铁铁路某段GPS控制网数据，测区处丘陵到平原的过渡区域，地形起伏变化较大，高程异常值呈多曲面性变化。点位分布如图1所示，测段长约为70km，由东北到西南沿铁路呈带状布设48个E级GPS控制点。为满足施工要求，所有点都经过四等水准联测。因此，各控制点既有平面坐标、大地高，又有水准高程，可据此对各模型的高程拟合精度进行实验验证。

图1 GPS点位平面图

根据地形以及控制网特点，在测区内选取7个点（点号分别为3、9、16、22、30、38、46）作为已知高程异常的公共点，已知点平均距离为8km，剩余点作为待定点，其中，1、2、47、48为外推点，其余为内插点。运用三种模型进行拟合计算，移动曲面法的权值采用Pi＝［（R－di）／di］2，其中搜索半径R值按照已知点平均距离2倍的原则采用R＝16；经实验，多面函数法采用拟合效果较好的双曲面模型作为核函数，其平滑因子采用0.8.

将拟合的结果与水准测量结果进行比较，得到其残差值统计如图2所示。