段文杰，武颖，刘大亮

（1.山西农业大学 工学院，山西 太谷030801；2.太原理工大学 机械工程学院，山西 太原030013；3.首都航天机械公司，北京100076）

球形机器人［1］、独轮机器人［2］以及双轮机器人［3］的运动控制问题一直是该研究领域的重要内容［4］。多数情况下，在平面内，这3类机器人的运动可以简化为一均质圆盘的垂直滚动。本文首先利用拉格朗日方法［5］建立均质圆盘垂直滚动的一阶链式非完整系统模型；其次利用反步法［6～8］设计系统的稳定运动控制算法，并证明了算法是渐进稳定的。状态镇定和路径跟踪仿真实验结果表明该算法是有效的、可行的。

1 系统建模

如图1所示，圆盘的位形由坐标平面上的位置x和y，进动角θ和圆盘的自转角ψ确定，记为q＝（x，y，ψ，θ）。圆盘的半径为r。对圆盘施加的力矩分别为绕铅垂轴的转向力矩τ1和自转动力矩τ2。圆盘作无滑动的纯滚动，该速度约束可以表示为

图1 系统坐标系与运动模型Fig.1 Coordinate system and motion mode

记m为圆盘的质量，J1，J2分别为关于铅垂轴和水平滚动轴的转动惯量，则系统的拉格朗日函数［9，10］为

其中，常值惯性矩阵 M ＝diag（m，m，J1，J2）。经计算得到系统的动力学方程为

其中ui＝τi／Ji，i＝1，2。如果系统的输入控制表示为˙ψ＝ω1和˙θ＝ω2，通过对半径r的单位正则化处理后，运动学形式的模型可以表示为

在θ∈（－π／2，π／2）上，应用坐标和输入控制变换

可以得到一个一阶链式非完整系统

2 运动控制算法

定理：存在时不变且有界的状态反馈

在

上，当t＞0时，系统（5）的状态x指数收敛至零。其中k1，k2和k3为正数，且k3＞k1。

证明：应用线性状态反馈

使x1指数稳定，其中k1为正常数。……