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走出困境:执果索因走着瞧(上)

2012-03-27

中学生天地·高中学习版 2012年3期
关键词:表达式对数卡片

主 讲:许志锋

中学高级教师,台州市“教学能手”,拥有20余年高三教学经验,参加过“国家级骨干教师”培训并被授予合格证书.

推荐名言

数学知识终究要依赖某种类型的直觉洞察力.

——希尔伯特 (德国数学家,提出了23个对20世纪数学发展具有重要意义的“希尔伯特问题”)

在高考试卷中,函数压轴题往往题外有题.比如,问题(1)探讨了函数的性质,问题(2)却以数列、概率或其他形式出现.前后的问题看似毫无关系,如何把它们联系起来呢?今天,我们就以2011年高考数学全国卷(理科)第22题为例,谈谈如何处理“题外有题”的情况.

例 (1) 设函数f(x)=ln(1+x)-. 证明:当x>0时, f(x)>0.

(2) 从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张,然后放回,用这种方式连续抽取20次,设抽得的20张号码互不相同的概率为p,求证:p<19<.

初步分析:

问题(1)属于函数问题,问题(2)则属于概率问题,两个问题差异很大,难以立刻找出它们之间的联系.经验告诉我们,要解决问题(2),肯定会用到问题(1)的结论!因此,我们的策略是:走着瞧,瞧着走!我们可以先解决较为常规的问题(1),再写出问题(2)中p的概率表达式,并将这个表达式与19相比较,找到证明p<19的思路,最后探讨如何把问题(1)中的对数不等式ln(1+x)->0 (x>0)迁移到问题(2)的指数不等式19<中.

问题(1)解析:

f′(x)=-=≥0, ∴ f(x)为单调递增函数. 又f(0)=0, ∴ 当x>0时, f(x)>0.

问题(2)解析:

p的表达式: ∵ 这是有放回地连续抽取20张卡片,∴ 共有10020种可能的结果. 当这些卡片的号码互不相同时,相当于从100张卡片中任取不同的20张,并按从第1次到第20次的顺序排列,∴有种取法. ∴ p=.

<19的证明:要证明<19,即要证明•••…•<. 分析可知,不等式左边共有20项且依次递减,从第二项起,最大项>,最小项<,中间项=.我们可以尝试“折中”处理,即判断•,•,…,•是否都小于2.

对任意的k≠0,有:•=<=2.取k=9,8,…,1,可得•<2,•<2,…,•<2. ∴ •••…•<成立,即<19.

19<的证明:要证明含有e的指数不等式19<,我们可以根据问题(1)已证明的不等式ln(1+x)->0 (x>0),对不等式两边取自然对数.为了接近ln(1+x)>的形式,还应将19<调整为1+19>e2后再取对数,即19<?圳1+19>e2?圳19ln1+>2?圳ln1+>.

对ln(1+x)> (x>0),代入x=,恰好就有ln1+>!∴ 19<成立.

p<19<得证.

点评:

由以上解答不难看出,一个数字不等式可以看做一个函数不等式的特例,而一个指数不等式一般等同于一个对数不等式.从问题(1)到问题(2)的迁移过程中,用分析法执果索因,让目标与已证结论在形式上逐步接近,就能破解二者之间的微妙关系.

注:根据我们熟知的不等式“当x≥0时,1+x≤ex. 当且仅当x=0时,等号成立”(证明过程见《中学生天地》(高中学习)2011年第9期第31页),取x=,对不等式1+x≤ex两边取对数,可得ln1+<.又例题中已证明ln1+>,∴

【练一练】

已知函数f(x)=ln2(1+x)+2ln(1+x)-2x.

(1) 证明函数f(x)在区间(0,1)上单调递减;

(2) 对任意的n∈N*,若不等式1+2n+a≤e2恒成立,求实数a的最大值.

【参考答案】

(1) f′(x)=+-2=. 在区间(0,1)上,由熟知的不等式1+x0)可得ln(1+x)

(2) 1+2n+a≤e2?圳(2n+a)ln1+≤2?圳a≤-2n. 令g(x)=-,则-2n=g. ∵ n∈N*, ∴ ∈(0,1]. 我们可以探讨g(x)在区间(0,1]上的单调性,以求出-2n的最小值.

g′(x)=-+=.

令h(x)=(1+x)ln2(1+x)-x2,则恰有h′(x)=ln2(1+x)+2ln(1+x)-2x=f(x). 由(1)可知 f(x)在区间(0,1)上单调递减, ∴f(x)< f(0)=0, ∴ h′(x)<0, h(x)是减函数.又h(0)=0,∴ 在区间(0,1]上 h(x)<0. 由此可得 g′(x)<0, ∴g(x)=-在区间(0,1]上单调递减. 对于x=(n∈N*),当n=1时,g(x)=-有最小值-2. ∴ 当且仅当a≤-2时,对任意的n∈N*,1+2n+a≤e2恒成立.即a的最大值为-2.

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