郑 春 茂

（国家林业局华东林业调查规划设计院 浙江杭州 310019）

1 加权回归的概念

假定随机变量y与x满足下列模型：

式中：y为应变量；x位自变量；ε表示回归模型的误差项。采用普通回归建立模型的先决条件，误差项ε必须满足“零数学期望、独立、等方差”3个基本假设，才能获得模型的最优估计。而误差项的方差经常会随着自变量的变化，产生规律性的增加或减少，回归模型不满足“等方差”的条件，也就是回归模型存在异方差性，就不能获得最优估计。

为解决误差项ε的异方差性问题，应设法校正原有的模型，使校正后的模型其误差项具有常数方差，而模型的校正取决于方差与自变量xi之间的关系。假设 εi的方差与xi的函数呈比例关系，即：

这里2σ 是一个有限常数。于是用去除原有模型，可使新模型的误差项具有常数方差。用这种变换后的模型进行回归估计，即为加权最小二乘法，简称加权回归。

2 权函数的变换

明确了权函数的结构式以后，需要将生物量模型进行变换，要求模型变换后实现系统误差（σ）最小，使用表达式描述为：

上式可以化为：

从（5）式可以看出，系统误差最小的理想情况为：

也就是满足下面表达式为最佳：

其中，f(x)为普通回归的拟合值；M为样本观察值；D为胸径；H 为树高；V为材积。

3 实例分析

生物量建模数据，按样本的部位可以分解为树干、树枝、树叶和树根，要求各部位单独建立回归模型，样本树枝的生物量因生长环境的不同，差异明显，使用普通回归的拟合结果存在异方差性，故选取2010年栎类树枝样本数据，采用加权回归估计，并对估计结果进行分析和对比。……