潘晓兵

中图分类号：P217

摘要：本文首先探析了高原地区建立独立坐标系的原因、方法、类型等，然后研究了高斯投影和独立坐标系向高斯坐标系的转换，供大家参考借鉴。

关键词：高原地区；独立坐标系；高斯坐标系；高斯投影；坐标系转换

在测绘作业过程中，经常需要将国家坐标系与独立坐标系之间的坐标进行相互转换，以满足实际作业的需求。虽然中国法定采用统一的国家坐标系，但是出于实际应用的考虑，许多城市都建立了各自独立的城市坐标系统，如何将两类坐标系统有机地统一起来，如何在二者之间进行相互转换，是一个十分实用的研究课题。

建立独立坐标系时，首先考虑长度变形不能超过±2.5cm /km。但对于大部分高原地区，采用国家大地平面坐标系的投影归算面(IAG-75参考椭球)不能满足这一要求，按现行的规范采用以下几种方法建立独立坐标系：①投影于抵偿高程面上的高斯正形投影3°带的平面直角坐标系；②高斯正形投影任意带的平面直角坐标系，投影面一般采用测区平均高程面；③面积小于25km2的城镇，可不经投影采用平面直角坐标系。由此可看出，要实现国家大地高斯投影直角坐标与工程控制网独立坐标的互相换算，实际是要解决不同归算面间的坐标换算问题。独立坐标系向高斯坐标系的转换，核心是解决不同投影归算面间的坐标转换。本文主要采用椭球变换法来分析它们之间的转换关系，较常规的相似转换法和多项式逼近法，精度更高，适用范围更大。

1独立坐标系

在高原地区城市测量与工程测量中，若直接与国家坐标系中建立控制网，会使长度的投影变形较大，难以满足使用上或工程上的要求。因此，往往需要建立城市坐标系。城市坐标系是建立在国家参心大地坐标系(1954年北京坐标系或1980年西安坐标系)基础上的一种能够有效地补偿长度投影变形值的高斯正形投影平面直角坐标系统。

1.1建立地方独立坐标系的原因

在城市测量或工程测量中，要求投影长度变形不大于一定的值(如《工程测量规范》、 《城市测量规范》为2.5cm /km)。然而，采用国家坐标系统在高海拔地区、离中央子午线较远地方等不能满足这一要求，这就要求建立地方独立坐标系。建立地方独立坐标系的常规方法是以一个国家大地控制点和一条边的方位角作为起算数据，观测边长投影到某特定面(测区平均高程面、抵偿面)上。这一方法明显存在以下弊端：

①起算點坐标从国家坐标的参考椭球高斯成果直接搬至地方独立坐标系的投影面，这在理论上不严密，同时因起算点不同，整个网成果不同；②与国家大地控制点不能严格转换，不利于资源共享；③不能充分利用国家大地控制点提高网的精度，对于带状控制网(公路、输电线路等)尤为突出。由此，应该建立一种既与国家坐标系有严密换算公式，又能保证投影变形在规定范围的地方独立坐标系统。

1.2地方独立坐标系建立的方法

1.2.1地方独立坐标系统的类型

地方独立坐标系统的类型主要有以下三类：1)抵偿坐标系；2)任意带坐标系；3)投影于抵偿高程面的任意带坐标系。

1.2.2确定抵偿高程面的一般方法

传统确定抵偿高程面的方法是，即取距离中央子午线最远点的坐标，来计算测区的抵偿高程面，使该高程面上的投影变形为零。

长度变形公式：

将带入长度变形公式中得：

此方法建立地方独立坐标系仅适用于测区范围不大、地形起伏不大和靠近中央子午线的地区。

1.2.3高程抵偿坐标系的适用范围

在抵偿坐标系中，只有边缘两端点y坐标的自然值的平均值为y0且高程位于抵偿高程面上的长度综合变形才能互相抵消。

设抵偿高程为H0，由长度变形公式可以算出变形的相对值且令其变形值不超过2.5cm /km，即为：

令KM， 可以计算出抵偿带东西边缘横坐标的值：

式中的y和H0均以公里为单位。由此可计算出不同高程抵偿面高程和相应的横坐标的区间值。

2高斯投影

高斯-克吕格(Gauss-Kruger)投影简称“高斯投影”，是地球椭球面和平面间正形投影的一种。该投影按照投影带中央子午线投影为直线且长度不变和赤道投影为直线的条件，确定函数的形式，从而得到高斯一克吕格投影公式。投影后，除中央子午线和赤道为直线外，其他子午线均为对称于中央子午线的曲线。设想用一个椭圆柱横切于椭球面上投影带的中央子午线，按上述投影条件，将中央子午线两侧一定经差范围内的椭球面正形投影于椭圆柱面。将椭圆柱面沿过南北极的母线剪开展平，即为高斯投影平面。取中央子午线与赤道交点的投影为原点，中央子午线的投影为纵坐标x轴，赤道的投影为横坐标y轴，构成高斯克吕格平面直角坐标系。

高斯投影除了在中央子午线上没有长度变形外，不在中央子午线上的各点，其长度比都大于1，且离开中央子午线越远长度变形越大。

我国规定按经差为6°或者3°进行投影分带，大比例尺测图和工程测量采用3°投影，特殊情况下工程测量控制网也可用1.5°带或任意带。

高斯投影分带有效地限制了长度变形，但是在投影带的边缘地区，其长度变形仍然较大，以致不能满足大比例尺测图和工程测量的精度需求。因此，位于投影带边缘的地区或城市，为克服长度变形的影响，往往选择1.5°带或任意带以及其他形式的地方坐标系统。

在我国x坐标均为正，y坐标的最大值(在赤道上)约为330km，为避免出现负的横坐标，可在横坐标上加上500km。另外在横坐标前面再冠以带号，这种坐标称为国家统一坐标。

由此可见，由于高斯投影是正形投影，故保证了投影的角度不变性、图形的相似性以及在某点各方向上长度比的统一性；由于采用了同样法则的分带投影，既限制了长度变形，又保证了在不同投影带中采用相同的简单公式进行由于变形引起的各项改正的计算，且带与带间的互相换算也能用相同的公式和方法进行。因此，高斯投影在国际上得到了广泛的应用。

3独立坐标系向高斯坐标系的转换

独立坐标系向高斯坐标系的转换，核心是求得两个平面直角坐标系之间的坐标转换参数。本文采用相似转换法、多项式逼近法和椭球变换法来分析它们之间的转换关系，从而实现独立坐标系向高斯坐标系的转换。

3.1相似转换法

独立坐标系与高斯坐标系就表现形式而言均为平面直角坐标系统，因此二者的转换可以采用平面坐标系的转换方法进行。

两个平面直角坐标系之间的相似转换一般都包含四个原始转换参数，即两个平移参数(Vx，Vy)，一个旋转参数α和一个尺度参数m。最常见的转换过程有两个：先旋转、再平移、最后统一尺度；先平移、再旋转、最后统一尺度。转换过程不同，求得的四个转换参数也不相同，但是它们最终的转换结果都是一致的。

3.2多项式逼近法

相似转换实质上是线性转换，当原有城市坐标系的局部性系统误差或局部形变较为明显时，采用相似转换不可避免的会带有模型误差，降低转换结果的精度，此时，我们可以采用多项式逼近法。

多项式逼近法在于选取多项式逼近待求的两个坐标系之间的转换函数，由多项式逼近任意连续函数时，从理论上讲，只要选择适当的多项式阶数和系数，就可以逼近到任意的程度，并且保证点与点之间一一对应的可逆连续转换的特性。

3.3椭球变换法

当区域面积范围较大，精度要求高时，不同投影归算面间的坐标转换，必须考虑到由于投影归算面的不同所涉及的椭球面问题。

第一步：高斯投影坐标反算

应用高斯投影坐标反算公式计算出各点的地方独立平面坐标(X1，Y1)在地方独立坐标系参考椭球下对应的大地坐标(B1，L1)；

第二步：不同投影归算面间的大地坐标换算

第三步：高斯投影坐标正算

应用高斯投影坐标正算公式将解算出的1980国家坐标系中的大地坐标(B，L)换算成高斯平面直角坐标(X，Y)。

第四步：坐标系的转换

根据高斯平面坐标和地方独立平面坐标计算平移、旋转和缩放参数，应用平面坐标相似变换模型实现独立坐标系向高斯坐标系的转换。

第五步：成果检验

结束语

从独立坐标系与高斯坐标系相衔接而言，椭球变形法保持独立坐标系点大地经纬度不变，从这点来说椭球变形法比其他方法具有优越性；由于椭球面发生的变化，椭球参数与点的大地经纬度也发生变化，故应采用新的大地经纬度按新椭球元素进行高斯投影。不改变参考椭球面原有大地经纬度，从理论上讲是不严密的，但对于较小的测区而言，其影响较小。当区域面积范围较大，精度要求高时，不同投影归算面间的坐标转换，必须考虑到由于投影归算面的不同所涉及的椭球面问题。此时，可采用椭球变换法来实现独立坐标系向高斯坐标系的转换。

参考文献

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[3]高伟，吴文凯，袁超.高斯投影坐标变换[J].钢铁技术， 2008， 12(1)