常晓鹏，郑喜英，孔 波

(1．河南教育学院 信息技术系，河南 郑州450046;2．黄河科技学院 信息工程学院，河南 郑州450005;3．河南教育学院 数学系，河南 郑州450046)

0 引言

Etzion T［1］给出了码字的深度、码的深度分布等概念，并定义了一些码的深度分布． Mitchell C J［2］给出了二元循环码的深度分布． Luo Y 等［3］给出了线性码深度分布的计算公式． 朱士信等［4］证明了4k12k2型的四元线性码至少含有k1+k2个非零深度值，并给出了Z4环上循环码的深度谱． 石立叶等［5］证明了4k和2k型的四元循环码恰有k个非零深度值，4k12k2型的四元循环码至少有k1+k2个非零深度值，并给出了它的深度谱． 郑喜英等［6］给出了整数剩余类环Zpm上的循环码的深度谱．

笔者首先介绍了整数剩余类环ZM上循环码的基本概念及深度的概念和性质，然后由中国剩余定理给出了ZM上长为n(这里n 不整除R-的特征)循环码的深度谱．

1 基本概念和结论

设R=ZM的极大理想为I，令R-=R/I．R 上长度为n 的线性码C 叫做循环码，若满足性质:∀c = (c0，c1，…，cn-1)∈C ⇒(cn-1，c0，c1，…，cn-2)∈C．

我们把R 上长度为n 的循环码定义为R 上的一个加法子模Rn．如果f(x)整除xn-1(即xn-1 =f(x)g(x)，就记g(x)=(xn-1)/f(x)为f^(x)．因此，C 是循环码的充要条件是C 是多项式环R［x］模xn-1 的剩余类环R［x］/(xn-1)的理想．

任取x=(x1，x2，…，xn)∈R 定义x 的微分为D(x)=(x2-x1，x3-x2，…xn-xn-1)． 这里约定n=1时D(x)= 0． 对1 ＜i ≤n，定义Di(x)=D(Di-1(x))．显然D 是从Rn到Rn-1的一个线性算子．

对任意多项式l(x)∈R［x］，定义线性算子

定义Γ

称为截取算子． 那么Γi就是截去前i 位保留后n-i位的算子．

合并算子Lx-1和Γ，有ΓLx-1(a0，a1，…，an-1)= (a0- a1，a1- a2，…，an-2- an-1)，显然D= -ΓLx-1．易证三个算子间的关系如下．

引理1［5］对0≤i≤n，有Di= -Γi-1．

定义1 称使Di(x)=0 成立的最小非负整数i 为x 的深度，记为depth(x);若没有这样的i存在，则令x 的深度为n．

定义2 设C 是环R 上长为n 的码，用……