宋允东，王永芳,2，商习武，张兆杨,2

（1.上海大学 通信与信息工程学院，上海 200072；2.新型显示技术及应用集成教育部重点实验室，上海 200072）

当今信息社会，海量数据加剧了信息处理、传输以及存储的难度。在信息的获取上，采集到的数据量并不一定都是必需的，能不能直接采集少量的必需数据来表示原来的信息呢？此外，数据量的增大对硬件设备的要求徒然提高，迫使需要转换思路去解决问题，压缩感知正是在这种背景下应运而生。

压缩感知（Compressive Sensing，CS）最早是由Donoho等人在2006年正式提出的一种新数学方法[1]，广泛地应用于信号处理领域，引起了国内外科学界的高度关注。传统的信号采样是在奈奎斯特采样定理的规则下进行的，信号带宽的增大使得两倍以上信号带宽的采样频率变得越发困难。压缩感知指出可以以低于奈奎斯特带宽的频率进行采样，并且能够精确地重建原始信号。

目前国内外把压缩感知应用于图像编码的研究已经有了相当的进展。文献[2]提出了图像采用分块2D-DCT的CS比1D-DCT的CS在减少复杂度的基础上能更好地重建原始信息。文献[3]提出了新的观测矩阵CHT，实验证明此方法可用更少的测量数来重建信号。文献[4]提出对基于CS分块的DWT进行OMP重建，与整幅图像相比不但降低重建复杂度，而且减少所需内存空间。

本文在分析压缩感知基本原理的基础上，提出了对DCT系数进行JND（Just Noticeable Distortion）预处理以增加其稀疏性。实验结果表明，基于JND的CS图像编码减少CS的重建时间，提高图像的重建质量，并且对加性噪声具有很好的稳健性。

1 基于JND的CS图像编码

1.1 压缩感知概论

压缩感知理论基本思想是只要信号在某一个正交空间具有稀疏性，就可以用一个与变换基不相关的观测矩阵把高维信号投影在低维空间，然后通过求解最优化问题从少量投影中以高概率重构原信号。压缩感知理论包括3个核心问题[1,5]：信号稀疏性变换、观测矩阵设计以及重建算法。首先，信号X∈RN在某个正交基或紧框架ψ上是稀疏的（变换系数Θ=ψTX，Θ是ψ的等价或逼近稀疏表示）；然后，设计一个平稳的与变换基ψ不相关的M×N维的观测矩阵Ф，对Θ进行观测得到观测集合Y=ФΘ=ФψTX；最后，通过利用L0范数意义下的优化问题求解X的精确或近似逼近。国内外专家对CS理论的研究主要是针对以上3个核心内容展开的。

1）稀疏性

信号的稀疏性是应用压缩感知理论的前提条件。自然界中的大多数信号很难满足稀疏性，但是可以采用某个变换基使其成为稀疏的表示，也就是其满足可压缩性，这种信号同样可以适用于压缩感知理论。常见的稀疏变换基有DCT变换基、DWT变换基、离散傅里叶变换基、Walsh变换基等。

2）观测矩阵

观测矩阵是观测向量获取和信号重建的关键，观测矩阵的性能不仅对信号的压缩和采样过程有着重要的影响。观测矩阵的设计通常建立在约束等距性理论（Restricted Isometry Principle，RIP）[6]基础上，其等价条件是观测矩阵Ф和稀疏基ψ不相关，在RIP指导下，目前常用的观测矩阵分为随机观测矩阵和确定性观测矩阵。常用的随机观测矩阵如高斯随机观测矩阵、傅里叶随机观测矩阵、贝努利观测矩阵等。其优点在于它几乎与任意稀疏信号都不相关，因而所需的观测次数最少，且能较好地重建原始信号，但其缺点是占有大量存储空间，且计算复杂度较高，难以在硬件中实现。

3）重建算法

在一定程度上，压缩感知的重建算法就是求一个欠定方程的解，即从一个低维的采集数据中重建出高维的原始信号。重建质量的好坏也直接影响着压缩感知能否从理论研究走向实际的应用。重建是一个非线性过程，必须要找到信号的最稀疏系数[5]，即解决一个最小L0范数问题[7]。目前正交匹配追踪（Orthogonal MP，OMP）[8]算法研究广泛。

1.2 JND模型

JND是基于心理学和生理学最小可察觉失真的视觉冗余表征模型，能够很好地描述人眼的视觉敏感特性。它通过设置一个阈值屏蔽掉人的视觉不能察觉到的噪声变化，从而达到去除视觉冗余的目的。在图像和视频的预处理、码流控制、自适应量化以及运动估计中都可以得到广泛的应用，精确的JND模型对于改善图像视频的编码复杂度有着至关重要的作用。

JND模型主要有3种：基于像素域的JND模型、基于DCT域的JND模型和基于DWT的JND模型。目前基于DCT变换的JND模型得到了广泛研究。然而，由于目前还没有完全掌握人类视觉系统的特性，JND模型不能与人言特性完全吻合，精确度有待提高。本文是在文献[9]的基础上融合压缩感知进行图像编码，取得了显著效果。

1.3 基于JND的CS图像编码

1.3.1 CS的稀疏性分析

从压缩感知原理中得知，信号的稀疏性对信号的重建具有决定性的意义。随着信号稀疏性增大，信号的解码复杂度会降低，重建效果有一定的提高。本文采用分块DCT变换作为稀疏基。

引入JND模型对图像DCT变换的系数进一步稀疏化。采用JND模型对7个测试图像的DCT系数进行滤波处理，对低于JND阈值的DCT系数置零处理，如表1可以看出，经过JND处理后的系数出现很多的零，信号变得更稀疏了。这也表明在不影响主观质量的基础下，增加了DCT系数的稀疏性。

表1 DCT系数变化表

1.3.2 基于JND的CS图像编码

本文在分析CS图像编码和JND模型的各自特点后，提出了在原有CS图像编码重建中嵌入JND模型的方法，通过对DCT系数进行JND预处理来增加DCT零系数的数量。鉴于分块DCT变换可以减少存储空间，提高图像重构质量，提出采用分块变换的编码方法，其框图如图1所示。

图1 基于JND的CS编解码框图

具体的编码步骤如下：

1）对信号进行稀疏变换，采用分块DCT变换，通过DCT变换可得到K稀疏的图像信号；

2）采用DCT域的JND对DCT系数进行预处理；

3）产生一M×N（M

4）采用OMP重建算法对DCT系数进行重建；

5）对重建的DCT信号进行分块DCT反变换，这就得到了原始图像信号。

2 实验结果及分析

2.1 基于JND的CS性能仿真

本实验中选取128×128的测试图像Lena，Organ，Foreman，Cameraman。将提出的算法与文献[10]作比较，对比图像的重建效果和运算复杂度。本文采用随机矩阵作为观测矩阵，每一次重建结果会有可允许的变化（±2%）。

表2给出了有无JND处理的压缩感知图像重建时间和图像的PSNR的实验数据。由表2可以明显看到加入JND后，同样的观测数下压缩感知的OMP重建时间平均提高50%以上，也就是复杂度相应地减小了一半多；随着观测数的增多，图像重建时间的减少幅度也增大。当观测数M小于90时，重建图像的PSNR有所增大；然而随着观测数M进一步增大，由于JND模型对人眼不敏感信息的滤除，重建图像的PSNR也不再提高，甚至有所下降，但图像的主观质量相当。

表2 有无JND处理的实验结果对比

此外，对不同类型的测试图像可以看到对于细节变化缓慢的Organ图像，PSNR提高的幅度显著增大，这进一步证明了压缩感知在细节缓慢变化图像如MRI的巨大应用价值。分析以上实验的结论，还是要回归到压缩感知的本质上，正是由于JND阈值的引入，使得图像的DCT稀疏性大大增强，这使得其在重建时间和效果上有了相应提高。图2a和图3a为本文方法的重建图像，图2b和图3b是文献[10]方法的重建图像。由图表明采用本文方法的CS重建图像，在相同的观测下，主观效果优于文献[10]方法的重建效果。

2.2 基于JND的CS的稳健性仿真

根据压缩感知的原理，测量后的任何一个观测数据在重建原始数据上的贡献相同，这就决定了少数数据的丢失损坏不会影响最终的重建效果。这一特性使信号在面对加性噪声的干扰时，能够有好的稳健性，不失真地重建出原始图像。

在上述实验平台下，基于JND的CS图像编码对观测数据引入不同的加性噪声。表3给出了数据对比，在两种不同信噪比的噪声下，重建图像的PSNR只有略微的降低。通过图4和图5可以看到，在观测数据加入10 dB加性噪声时重建图像的主观质量并没有下降。

通过实验可验证加入加性噪声对图像的效果影响不大，加之考虑到随机测量矩阵随机性影响的误差，可以得出压缩感知具有很好的编码稳健性。

表3 有无噪声的重建效果对比

图4 Lena本文算法重建图（M=80)

图5 Organ本文算法重建图（M=80)

3 结论

本文在对压缩感知原理分析探索的基础上，提出了用JND模型来稀疏DCT系数的算法，实验证明基于JND的CS可以降低重建算法复杂度，同时有很好的稳健性。综上所述，在JND压缩感知框架下的图像编码方法是一个新的课题，值得深入地探讨。未来还需要研究适应于JND模型下的测量矩阵，以及进一步降低复杂度的重建算法，使此方法向实时应用发展。

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[3]KUMAR N R，XIANG Wei，SOAR J.A novel image compressive sensing method based on complex measurements[C]//Proc.2011 International Conference on Digital Image Computing Techniques and Applications.[S.l.]：IEEE Press，2011：175-179.

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[5]TRALIC D，GRGIC S.Signal reconstruction via compressive sensing[C]//Proc.ELMAR.[S.l.]：IEEE Press，2011：5-9.

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[10]SHEN Mingxin，LIU Wenbo.Image reconstruction technique based on the compressed sensing theory[J].Electronic Science and Technology，2011，24（3）：9-12.