肖旗梅，李庆国

（1.湖南大学数学与计量经济学院，湖南长沙 410082；2.长沙理工大学数学与计算科学学院，湖南长沙 410004）

Quantales上的导子＊

肖旗梅1，2†，李庆国1

（1.湖南大学数学与计量经济学院，湖南长沙 410082；2.长沙理工大学数学与计算科学学院，湖南长沙 410004）

在Quantales理论中引入导子的概念，探讨了Quantales中运算＆的性质，并研究了左（右，双）侧元导子的包含关系，最后讨论了简单导子的相应性质.

计算科学；Quantale；导子；左（右，双）侧元；子Quantale；理想；简单导子

Mulvey于1986年提出Quantale的概念［1］，其背景在于为量子力学提供新数学模型.文献［2］的出版使得Quantale理论在短短的20年间有了巨大的发展，大量新的观点和应用相继被揭示［3－6］，特别是Quantale理论在线性逻辑与计算科学方面的应用为该理论的发展提供了广阔的空间.

导子的概念被引入到素环［7］，BCI代数［8］以及格［9］等等，有助于研究各种代数系统的结构和性质.本文在Quantale中给出导子的定义，并研究其相关性质.

1 预备知识

先给出有关Quantale理论的基本概念［2］.

定义1 设Q为完备格，“＆”是Q上的二元运算.若∀a，b，c∈Q，∀｛bi｝⊆Q满足：

2）（a→lb）＆a≤b；

3）a≤b，c≤d⇒a＆c≤b＆d.

定义2 设Q是Quantale，a∈Q.若a＆1≤a（a＆1＝a），则称a是Q的右侧元（严格右侧元）.

若1 ＆a≤a（1 ＆a＝a），则称a是Q的左侧元（严格左侧元）；若a既是Q的（严格）左侧元又是（严格）右侧元，则称a是Q的（严格）双侧元；若a＆a＝a，则称a是Q的幂等元.

若Q中的任意元素都是（严格）左侧元（右侧元，双侧元，幂等元），则称Q是（严格）左侧（右侧，双侧，幂等）Quantale.

分别用R（Q），L（Q），T（Q）表示Q的左侧元，右侧元，双侧元全体；分别用SR（Q），SL（Q），ST（Q）表示Q的严格左侧元，严格右侧元，严格双侧全体.

定义3 设A，I是Quantale Q的非空子集.A称为Q的子Quantale，如果A对任意并和运算＆封闭.