郭时光

（四川理工学院理学院，四川 自贡643000）

其中：G（M，M 0）是区域V的Green函数；n M0是边界∂V上点M 0（x 0，y 0，z0）处关于区域V的向外法线方向。

0 前 言

设有上半平面Poisson方程边值问题［1－6］

其中：f与g均为连续且可积的函数。

对于问题 （1），在目前众多的数学物理方程著作中，有的未能给出其解［1，2］，有的直接采用Poisson方程Direchlet问题的Poisson公式，从而得出其解的积分表达式［3，4］为

其中G（x，y；x0，y0）是上半平面0≤y的Green函数

然而，一方面，问题 （1）不是严格的Direchlet问题，因为上半平面的边界可视为由四条直线

组成的，该问题的边界条件是不完整的。因此，从逻辑上来说，这个问题用Poisson方程Direchlet问题的Poisson公式来定解是说不通的；另一方面，在式 （2）中，如果代入y＝0，或者令y→0，则均得u（x，0）＝0。可见，这个解不能满足问题 （1）中的边界条件，因而人们难以接受这个解。那么，这个问题到底应该如何来解呢？鉴于这个问题的重要性，下面讨论这个问题。

1 引 理

引理［5，6］在Poisson方程 Direchlet问题中，设定解区域V具有逐片光滑的边界∂V，自由项f（M）与g（M）均为连续可积函数。如果V是二维区域，则问题 （4）存在解的积分表达式

其中：G（M，M0）是区域V的Green函数；nM0是边界∂V上点M0（x0，y0，z0）处关于区域V的向外法线方向。

2 问题的解

考虑如式 （3）所示的Green函数G＝G（x，y；x0，y0）。计算它关于边界直线y＝0的向外法线方向导数，因为上半平面关于边界直线y＝0的向外法线方向为n＝（0，－1），故得

分别计算Green函数G关于上半平面其它三个边界直线的向外法线方向导数，得

所以，如果用∂V表示上半平面的四条边界直线，则无论将目标函数u在其中三条边界直线y＝＋∞，x＝±∞上赋予任何连续的值，总有

这样，将问题 （1）视补足边界条件而成为Direchlet问题之后，则可用引理的二维Poisson方程Direchlet问题Poisson公式计算。……