张毅

(苏州科技学院 土木工程学院，江苏 苏州215011)

0 引言

动力学逆问题是分析力学研究的一个重要方面。由于动力学逆问题有非常广泛的应用，并且动力学逆问题的最终解决尚有问题，因此动力学逆问题常常引起力学家、数学家和工程技术专家的关注［1］。近年来，关于约束力学系统的动力学逆问题的研究已经取得了一些重要进展［1－8］。Whittaker在其经典著作中曾提到Bertrand 得到的一个结果［9］:对于已知结构的完整力学系统，作用力是未知的(假设力仅依赖于坐标而不依赖于速度)，当已知一个积分时可以求出未知力来。这是有关动力系统积分的一个重要性质，同时又是一个重要的动力学逆问题。Whittaker 指出［9］:但是，这个积分不能随意选取，而必须满足某些条件。尽管如此，这种只用极少信息就可以研究动力学逆问题的方法仍是一个相当好的结果［1］。Галиуллин［10］引入Еругин 函数，将结果加以推广。文献［11－12］进一步将结果推广到非完整力学系统，文献［13－14］给出了变质量非完整系统和相对运动动力学系统相应的结果。但是所有这些结果都是在位形空间中并且假设力仅依赖于坐标而不依赖于速度的情况下给出的。试图将Bertrand 的这个定理推广到相空间，并且不仅考虑非保守力依赖于广义坐标情况，也考虑非保守力依赖于广义动量的情况。并给出了若干算例加以说明。

1 完整非保守系统的Bertrand 定理

假设力学系统的位形由n 个广义坐标qs，s =1，…，n，来确定，其所受约束是理想、完整的，系统的广义动量和Hamilton 函数为