路峻岭，王长江，秦联华

（清华大学物理系，北京100084）

1 引 言

金属管（杆）弯曲振动实验是一个有趣的演示实验，所用器材仅为1根薄壁钢管或铝杆和1个橡胶锤.实验者捏持住金属管（杆）中距管端0.224倍管长处，用橡胶锤敲击金属管（杆）的端点或中点，就能听到金属管（杆）发出清晰的声音.若捏持不变，手持橡胶锤敲击金属管（杆）上其他点，会听到金属管（杆）发出声音的音调和音色都有变化.若改变捏持点，敲击金属管端点或中点，也听到声音的音调和音色都有明显变化.若捏持0.224倍管长处敲击中点或端点，仔细聆听常常能听到拍音.若调整捏持0.224倍管长处的点的位置，有时可以只听到单一声音而听不到拍音.本文对实验中的各现象给出了解释，可以促进学生对驻波产生条件的理解.

2 金属管（杆）弯曲振动微分方程、边界条件及其求解

弯曲形变中，金属管（杆）内有一个平面保持无伸缩，称它为中面.设想金属管（杆）由许多和中面平行的矩形平片叠加而成.若处于中面以上的平片被拉伸，则处于中面以下的平片被压缩，反之亦然.如图1所示设金属管（杆）的轴向在x方向，弯曲方向在z方向.设元段ABCD形变为A′B′C′D′，其端面受正应力力矩作用，若端面倾斜角为φ，则该力矩，其中：IS为截面惯量矩，Y为杨氏模量.若是金属杆，则；若是金属管，则同时注意φ可用挠度w对x的导数来表示，考虑到元段端面切应力力矩应与正应力力矩平衡，可得元段所受的净力（沿z方向），再应用牛顿定律[1－2]即可得……