陈 安， 李常品

(上海大学理学院，上海200444)

分数阶微积分拥有长达300多年的历史，但直到近几十年才得到快速发展［1］.这主要是因为分数阶能够比整数阶更好地刻画现实中的复杂模型，尤其是对一些具有记忆与遗传性质的物质的刻画［2］.不过也正因为分数阶微分的非局部性，导致了其数值计算的困难.Diethelm等［3］总结了关于分数阶微积分的几种常见的数值算法，本质上是利用函数的线性插值来构造相应的数值公式.Yuan等［4］构造了一种新的数值格式，这种格式能有效地避免因分数阶微分的非局部性而引起的高计算复杂度.之后，Diethelm［5］对该格式进行了改进，改进方法的主要思想是把原问题转化为更易求解的积分问题，然后利用 Gauss公式求解.为了得到更高阶的算法，Miyakoda等［6-8］基于Chebyshev多项式建立了一种新数值格式，然而，他们仅讨论了分数阶微分(t)在0＜α＜1时的情况.Li等［9］基于插值函?数，对分数阶微积分提出了几种新的有效数值算法.关于分数阶偏微分方程的有限元方法可参见文献［10-12］，其中文献［11］是关于分数阶偏微分方程间断有限元方法的早期工作，文献［12］是关于分数阶超扩散问题有限元方法的早期工作.

本工作基于Chebyshev多项式逼近建立了高阶的分数阶积分与Caputo型分数阶导数的数值算法，推广了文献［6-8］中α的应用范围.

下面，首先给出2个相关的基本定义.

定义1 关于函数 f(t)分数阶积分的定义如下：

定义2 关于函数f(t)的Caputo型分数阶导数的定义如下：

1 分数阶微积分数值算法的建立

为……