周志浩， 郭秀云

(上海大学理学院，上海200444)

在有限群论中，元素的可交换性是最基本最重要的性质.正因为如此，人们常常希望通过“较多”或“较大”交换子群来研究有限群的结构.例如，Miller等［1］早在1903年就确定了每一真子群都为交换群的有限群的结构.沿用这一思想，人们研究了每一个2-极大子群都为交换群的有限p-群(A2群)的结构.Kazarin［2］，Sheriev［3］，Berkovich等［4］都曾经独立地研究过这类群.经过长期努力，人们终于给出了这类群的完全分类［5］.本工作研究非交换子群的共轭类个数较小时有限群的结构，特别地，对非交换子群共轭类个数为2的有限非p-群给出了完全分类.

本工作中所研究的群都是有限群，没有特别说明的概念和术语均为标准的.设H是群G的非交换子群，则{Hg|g∈G}是G的一个非交换子群共轭类，记G的非交换子群共轭类的个数为γ(G).

1 基本定义和预备引理

下面给出本工作将要用到的一些基本定义和基本结果.

定义1 称Sylow q-子群正规的内幂零群为q-基本群.

定义2 如果群G的每个真子群皆为交换(幂零)群，但G不是交换(幂零)群，则称G为内交换(幂零)群.

内交换群的结构如下.

定理1［1］设G是内交换群，则G只有下列互不同构的类型.

(1)当G为幂零群时，G必为q-群.

①四元数群：q=2，G=Q8=〈a，b|a4=1，b2= a2，ba=a－1b〉;

②亚循环群：G=Mn，m，q=〈a，b|aqn=bqm=1，ab=a1+qn－1〉，其中n≥2，m≥1;

③非亚循环群：G=Nn，m，q=〈a，b，c|aqn=bqm= cq=1，［a，b］=c，［c，a］=［c，b］=1〉，其中n≥1，m≥1，并且当q=2时，m+n≥3;

下面给出内幂零群的性质.

定理2［6］设G为内幂零群，则G有下列性质：

(1)|G|=paqb，p≠q均为素数，且适当选择符号，可有G的Sylow q-子群QG，而Sylow p-子群P循环，且P在G中非正规，并有Φ(P)≤Z(G);

(2)Φ(Q)≤Z(G)，特别地，c(Q)≤2;

(3)若q＞2，则 exp(Q)=q;而若q=2，则exp(Q)≤4.

通过赋予群的极大子群一些条件，可对……