李春华，秦志英

(河北科技大学a.信息科学与工程学院;b.机械电子与工程学院，河北 石家庄050018)

图像稀疏表示旨在确保图像精度的前提下，用数量最少的基函数组合近似表示图像，使图像的特征用尽量少的变换系数表达出来，在图像压缩、特征提取、图像检索、图像去噪和图像复原等应用中具有重要作用。Vinje和Gallant通过生理学的实验显示［1］，主视觉皮层的神经元在接受自然图像作为输入刺激时，其响应是满足稀疏性的，证实了图像稀疏表示模型能够有效匹配人类的视觉感知特性。

Mallat和Zhang将Coimfan和Wickerhauesr等提出的信号稀疏分解概念推广到图像处理领域［2-3］。在图像稀疏表示中，基函数的选择是关键。基函数与图像信号的结构越匹配，越容易形成图像的稀疏表示。随着多尺度几何分析的兴起，出现了Ridgelet，Curvelet，Contourlet，Wedgelet等一系列图像稀疏表示的超小波方法。它们放宽了正交基表示图像的严格条件限制，采用框架(超完备基)来表示图像，获得更好的图像表示效果。本文针对Fourier变换和小波变换用于图像表示应用存在的不足，研究了各种新兴起的超小波变换稀疏表示图像的方法，分析了它们各自的特点与优势，并对未来发展进行了展望。

1 Fourier变换和小波变换表示图像存在的问题

经典的Fourier变换可以对平稳信号形成最优表示，但表示图像这种非平稳信号时，只能把图像分解成具有不同强度和不同频率的分量组合，而不能同时表示出频率分量在图像上出现的位置，丧失了图像的空间分析特性。小波基具有良好的空间-频率局部化特性，较好地解决了Fourier变换在时域分析和频域分析之间的矛盾，被静止图像编码新标准JPEG2000选用。但是图像表示通常采用二维可分离小波基，基函数各向同性，只能有效表示零维奇异点。这是因为二维可分离小波基是由一维小波基通过张量积的方式推广得到的，支撑区间在不同分辨力下，表现为不同尺寸大小的正方形，不具有各向异性特征。它在表示图像边缘时，相当于用一系列的“点”去捕捉图像中的“线”。这种维度的差异严重影响了小波的逼近效率，导致在边缘轮廓处聚集了大量的大幅度小波系数。而且可分离二维小波变换在表示图像时，只能表达出水平、垂直和对角3个方向的图像信息，不利于完整表达自然图像［4］。为了克服实数小波变换的时移敏感性和方向性缺乏的缺陷，Kingsbury提出了复数小波稀疏表示图像的方法［4］，用两个实数滤波器分别近似逼近复小波的实部和虚部，具有近似的平移不变性和更多的方向选择性。复小波变换采用双树结构，一树生成变换的实部，一树生成虚部［4-5］，变换后产生了6个方向的高频子图像，分别指向±15°，±45°，±75°。但是分析方向数目还是无法满足自然图像角度分辨力的要求。由此看来，小波变换只能最优描述零维奇异目标函数，表示二维或更高维奇异性信号存在明显缺陷。

2 超小波图像稀疏表达方法

最近几年，出现了一些新的图像变换表示方法:如脊波(Ridgelet)、曲波(Curvelet)、轮廓波(Contourlet)、线波(Beamlet)、楔波(Wedgelet)、板波(Platelet)等。这些方法的基本思想是为了使基函数能更好地表现图像特征，放宽了对基函数的正交性要求，改用一组超完备的框架基作为图像稀疏表示的原子。事实证明，基于超小波变换的图像表示方法可以更加稀疏地表示图像。

超小波关注如何表达图像的不连续性(或奇异性)，沿袭小波的理论模式，构造出一些列能够多分辨力表达图像的“基”或“标架”，这些超小波的母函数具有各向异性的特点，通过灵活地调整基的方向和支撑区间的形状，可以用较少的系数快速有效地捕捉图像的奇异信息。它们具有下列共同特点:

1)具有几何规则性，能够逼近图像中任意方向的线、曲线的不连续性;

2)有容易计算的分析(正变换)和综合(反变换)表达;

3)对分析(变换)域的结果有明确的物理解释，便于实施去噪、压缩的近似处理，以及超分辨重建的进一步工作。

2.1 Ridgelet变换与Curvelet变换

脊波理论由Emmanuel J Candes在1998年提出［6］，一个典型的Ridgelet母函数如图1所示，具有各向异性的特点。小波变换是逐点刻画点的奇异性，而Ridgelet变换是沿脊线刻画线的奇异性。因此，Ridgelet变换在方向选择和识别方面，比小波变换性能优越，可以更有效地表示信号的一维方向奇异特征。

用脊波作为基函数来检测直线特征，可以有效地捕获各个尺度、各个位置和各个方向上的信息，逼近直线型奇异函数具有优越性。然而自然图像的边缘不一定都是直线型的，脊波变换不能很好地处理曲线奇异性，这样脊波变换就满足不了要求。

图1 Ridgelet母函数

为了表示图像中的曲线奇异性，文献［7］提出了单尺度脊波变换，把图像固定尺度均匀剖分，每个剖分块中的曲线近似看作直线。在剖分块中，再对每个分块进行脊波变换。单尺度Ridgelet变换巧妙地将曲线奇异转化为直线奇异来处理。

以单尺度Ridgelet变换为基础，E.J.Candes和D.L.Donoho构造了多尺度Ridgelet，也就是第一代Curvelets变换［8］。第一代Curvelet先对图像作小波变换，然后对不同尺度的子带图像采用不同大小的尺寸分块后进行脊波变换。Curvelets变换能在所有可能的尺度上进行Ridgelet变换，克服了单尺度脊波变换固定尺度的缺陷，对曲线状奇异特征具有稀疏表示的能力。

但是Curvelet变换存在数字实现复杂、数据冗余量巨大的缺陷。而且，由于Curvelet变换是基于块剖分的变换，重构图像中存在块边界效应。为了解决这一问题，需要预先对各剖分块进行叠加处理。这样不仅运算复杂度增大，还加大了变换系数的冗余度。于是，Candes等人又提出了实现更简单、更便于理解的第二代Curvelet变换［9］。定义径向窗函数W(r)和角度窗函数V(t)，它们满足可允许条件

对于每一个j≥j0，定义傅里叶频率的频率窗:Uj(r，，其中⎿」表示下取整，Uj的支撑区间是受W和V支撑区间限制获得的楔形区域，方向数目随尺度隔层加倍。对应的时域支撑区域具有各向异性，如图2所示。Curvelet变换能用极少的非零系数精确表达图像边缘，可以在确保低均方误差的约束下，实现图像表示数据精简性与精确性的平衡。

图2 Curvelet变换

2.2 Contourlet变换与Shearlet变换

鉴于Curvelet变换是一种频率定义的方法，导致笛卡儿坐标与极坐标间转换需要插值计算。M.N.Do和Martin Vetterli直接从离散时间域提出一种与Curvelet类似的方向性多分辨变换——Contourlet变换［10］，更适合数字图像表示。

Contourlet变换作为Curvelet变换的另一种快速数字实现方式，继承了Curvelet变换支撑区间各向异性的多尺度关系特点。如图3所示，它将多尺度分析和方向分析分拆进行，首先用拉普拉斯塔形分解方法搜索边缘奇异点，再用方向滤波器组将位置相近的奇异点集结成轮廓线段。Contourlet变换基的支撑区间是“长条形”结构，其长宽比随尺度变化，如图4所示。Contourlet表示图像边缘的系数能量更加集中，对于曲线有更“稀疏”的表达。图5、图6分别为小波变换和Contourlet变换用相同数量的系数重建图像的效果。

2007年，Guo和Labate等人提出了一种新的接近最优的多维函数表示方法——剪切波(Shearlet)变换［11］。相对于轮廓波变换来说，Shearlet变换具有完备的理论和数学基础，它与小波变换类似，通过一个基本函数的膨胀、剪切和平移变换来构造基函数，可以在广义多分辨分析的框架下进行研究，它在频率空间沿斜率方向逐层加倍细分，并且对剪切操作在方向数目上没有限制。Shearlet变换是一种更为灵活的数字图像表示方法，可以对图像进行灵活的多分辨和多方向分解，对图像中的边缘和纹理等细节信息给出接近最优的性能表示。

2.3 Beamlet变换与Wedgelet变换

为了确定图像中线段的端点及长度信息，Donoho提出了连续Beamlet变换及其在多尺度分析中的应用［12］，Xiaoming Huo提出了离散Beamlet变换［13］。在文献［14］中，Donoho用Beamlet分析的理论框架将Beamlet变换和Wedgelet变换统一为Beamlet多尺度几何分析理论。

在n×n的二进方块内连接边界上任意两个像素点就构成了一条离散小线基，基上的像素点可通过插值法确定。各种方向、尺度和位置的小线基的集合形成小线库。数字图像在一条小线基上的离散Beamlet变换，就是这条小线基上各像素灰度值的和。Beamlet变换对线定位精确、简单易行，变换系数以金字塔方式组织，从而实现多尺度分析。

Donoho进而提出了Wedgelet变换，与Beamlet变换结合，使用多尺度Wedgelet基对图像轮廓进行分段线性近似［15］。一个图像子块借助一条分割线分成两个楔块，每一个楔块用唯一的特征值表示。Wedgelet变换使用线的位置、两个楔块的特征值近似描述了这个子块的性质。

在应用中先利用Beamlet词典生成Beamlet基，Wedgelet基在Beamlet基的基础上生成。在Wedgelet变换中，图像中的边缘用所选取的最优Beamlet基来分段近似表示。

3 结论

自然图像是包含多种形态结构成分(Morphological Diversity)的复杂信号，而现在常用的傅里叶变换和小波变换无法最优地表达图像中各种类型的结构。本文针对傅里叶变换和小波变换稀疏表示图像存在的问题，较为全面地分析了近来新出现的各种超小波表示图像方法。超小波建立在冗余框架下，用过完备字典分解图像。基的种类和个数有所增加，便于表示图像中的各种几何结构，如边缘、轮廓、角点、纹理等，为图像稀疏表示提供了更好的选择。

从图像稀疏表示的发展进程来看，图像表示的基函数经历了从非冗余的正交基到适度冗余的紧框架变迁，正在向过完备字典演进。过完备字典放弃了正交性约束，能够凸显图像中有意义的局部特征，更好地抵御噪声干扰。

［1］VINJE W E，GALLANT J L.Sparse coding and decorrelation in primary visual cortex during natural vision［J］.Science，2000，287(5456):1273-1276.

［2］COIFMAN R R，WICKERHAUSE M V.Entropy-based algorithms for best basis selection［J］.IEEE Trans.Information Theory，1992，38(2):713-718.

［3］BERGEAUD F，MALLAT S.Matching pursuit of imgaes［C］//Proc.International Conference on Image Processing.［S.l.］:IEEE Press，1995，1:53-56.

［4］KINGSBURY N.Image processing with complex wavelets［J］.Phil.Trans.Roy.Soc.Lond.A.，1999，357(1760):2543-2560.

［5］KINGSBURY N.The dual-tree complex wavelet transform:a new efficient tool for image restoration and enhancement［C］//Proc.European Signal Processing Conf.Rhodes:EURASIP Press，1998:319-322.

［6］CANDES E J，DONOHO D L.Ridgelets:a key to higher-dimensional intermittency?［J］.Phil.Trans.R.Soc.Lond.A.，1999，357(1760):2495-2509.

［7］CANDES E J.Ridgelets and the representation of mutilated Sobolev functions［J］.SIAM Journal on Mathematical Analysis，2001，33(2):347-368.

［8］CANDES E J，DONOHO D L，Curvelets:A surprisingly effective nonadaptive representation for objects with edges［R］.USA:Department of Statistics，Stanford University，2000.

［9］CANDES E J，DEMANET L，DONOHO D，et al.Fast discrete curvelet transforms［J］.Multiscale Modeling Simulation，2006，5(3):861-899.

［10］DO M N，VETTERLI M.The contourlet transform:an efficient directional multiresolution image representation［J］.IEEE Trans.Image Processing，2005，14(12):2091-2106.

［11］GUO K，LABATE D.Optimally sparse multidimensional representation using shearlets［J］.SIAM Journal on Mathematical Analysis，2007，39(1):298-318.

［12］HUO Xiaoming.Sparse image representation via combined transforms［D］.Stanford:Stanford University，1999.

［13］HUO Xiaoming，CHEN Jihong.JBEAM:multiscale curve coding via beamlets［J］.IEEE Trans.Image Processing，2005，14(11):1665-1677.

［14］DONOHO D L，HUO Xiaoming.Beamlets and multiscale image analysis［M］.Berlin:Springer Press，2001.

［15］DONOHO D L.Wedgelet:Nearly minimax estimation of edges［J］.Annuals of Statistics，1999，27(3):859-897.