广义k集元第二类Stirling数若干结论

2012-01-18黄荣辉

河北北方学院学报（自然科学版） 2012年2期

黄荣辉

（1.华南师范大学数学科学学院，广东广州510631；2.顺德碧江中学，广东广州528311）

1 引言

对于一般的或广义的第二类Stirling数的研究已有大量的文献，得出了一系列的结论［1－6］.而本文将第二类Stirling数的部分条件改变，即改变其集合个数，因此而给出了新定义的广义多元集第二类Stirling数，并得出相关结论，其结论在现实生活中也有着一定的运用.先给出以下有关定义及相关引理.

定义1［1］从n个不同事物中每次取出m 个的组合数，记作C（n，m）.

定义2 把含有n个元素的一个集合分成恰好有r个非空子集合的分拆数目就叫做第二类Stirling数，并记作S2（n，r），对于n＝r＝0，定义S2（0，0）＝1及n＜r时，S2（n，r）＝0.

定义3 把分别含有n和m个元素的集合A和集合B共同分成恰好有r个非空子集合，且每个子集必须同时含有集合A和集合B的元素的分拆数目就叫做广义二集元第二类Stirling数，并记作S2（｛n，m｝，r），定义S2（｛0，0｝，0）＝1及n＜r或m ＜r时，S2（｛n，m｝，r）＝0.这里规定集合A和集合B 没有公共元素.

定义4 设集合Ai（i＝1，L，k）分别含有Ji（i＝1，L，k）个元素，将集合A＝UAi（i＝1，L，k）分成恰好有r个非空子集合，且每个非空子集必须同时含有集合Ai（i＝1，L，k）的元素的分拆数目就叫做广义k集元第二类Stirling数，并记作S2（｛J1，L，Jk｝，r），定义S2（｛0，L，0｝，0）＝1，若存在i∈ ｛1，L，k｝，使得Ji＜r时，则S2（｛J1，L，Jk｝，r）＝0，同样规定集合Ai（i＝1，L，k）两两不相交.

以下是对本文证明有关的引理.

引理1［1］当n≥1时，S2（n，2）＝2n－1－1.

2 主要结论及证明

定理1 当n，m ≥1时，S2（｛n，m｝，2）＝2n＋m－1－2n－2m＋2.

证明不妨记集合Ai（i＝1，2）的元素个数分别为n，m，则由广义二元集第二类Stirling数的定义可知，即将两个集合共同分拆成两个非空子集，并且要求每个子集至少含有任一集合的一个元素.这种规定实则意味着可以先将其中一个集合划分成两个非空集合A1i（i＝1，2）后再将第二个集合按照规定进行分配，而第二个集合同样需要符合定义中的规定，因此也必须将其分成两个非空集合A2i（i＝1，2），然后再将这两种分拆重新组合形成两个集合，有如下形式：