焦灵侠

（西安工业大学 北方信息工程学院，陕西 西安 710032）

倒立摆系统是一个典型的被控对象，用于检验各种控制算法，其本身是一个非线性、强耦合、多变量、自然状态下不稳定的系统。在控制过程中能有效地反映控制过程中的许多关键问题如非线性问题、系统的鲁棒性问题、随动问题、镇定问题及跟踪问题等。倒立摆在控制理论研究中是一种较为理想的实验装置。倒立摆系统与机器人的站立和行走、通信卫星的实时稳定等有很大的相似性，对倒立摆系统的研究具有重要的理论和实际意义。

1 二级倒立摆系统数学模型的建立

在忽略了空气阻力和各种摩擦，并认为摆杆为刚体。二级倒立摆[1]示意图如图1所示。

图1 二级倒立摆示意图Fig.1 Two-stage pendulum schematic diagram

系统的动能：

倒立摆参数定义如下：

m1摆杆1的质量 0.05 kg

m2摆杆2的质量 0.13 kg

m3摆杆3的质量 0.236 kg

M小车质量 0.584 kg

g重力加速度 9.8 m/s2

l1摆杆1中心到转动中心的距离 0.077 5 m

l2摆杆2中心到转动中心的距离 0.25 m

F作用在系统上的外力 N

θ1摆杆1与竖直方向的夹角 rad

θ2摆杆1与竖直方向的夹角 rad

其中T为系统的动能，V为系统的势能，L为拉格朗日算子，q为系统的广义坐标。i=1，2，3…，fi为系统在第i个广义坐标上的外力。在二级倒立摆系统中，系统的广义坐标有3个，分别为 x，θ1，θ2。

其中 TM，Tm1，Tm2，Tm3分别为小车的动能， 摆杆 1的动能，摆杆2的动能和质量块的动能。

摆杆1的动能：Tm1=T′m1+T′m2

其中T′m1，T′m2分别为摆杆1的平动动能和转动动能。

摆杆2的动能：Tm2=T′m1+T″m2

其中T′m2，T′m2分别为摆杆2的平动动能和转动动能。

系统的动能为：

系统的势能为：

由于系统在θ1，θ2广义坐标下没有外力作用，所以由拉格朗日方程得：

将其在平衡位置附近进行泰勒级数展开，并线性化，代入参数值：

则系统的状态方程为：

2 倒立摆系统模糊控制器的设计

采用的控制思想是将一个复杂的多输入/单输出的模糊控制器，分解成简单的多输入/单输出的模糊控制器[2]。控制器的输入为控制变量与给定值的偏差和偏差的变化，该方法能够较严格的反映控制系统中输出变量的动态特性，且控制方法简单，控制时能及时发现问题，对分别控制小车和摆杆有很大作用。

2.1 模糊控制器的降维

若输入变量采用常规的控制变量与给定值的偏差和偏差的变化，模糊控制器输入就有6个，每个变量定义6个模糊子集，模糊控制规则最多有66个，不利于规则的完整制定，将引起“规则爆炸”问题，所以需要对输入变量进行降维。

本章是用模糊控制和最优控制相结合的方法来实现模糊控制器的降维，使其变成二维模糊控制器[5]。把小车的位移、上摆的摆角、下摆的摆角综合成一个变量E，将小车的速度、上摆的角速度、下摆的角速度综合成另一个变量EC，E和EC作为模糊控制器的输入，电机输出的控制力u作为输出，由此可以设计一个二维模糊控制器。

首先利用最优控制中的线性二次型最优调节器控制原理求得最佳状态反馈控制向量的矩阵，即反馈矩阵K：

系统的状态向量为：

对于二级倒立摆系统，上摆杆即摆杆2的控制难度最大，分别选择 θ2、θ˙2为控制主元，对应的系数记为：kθ=kθ2，kθ˙=kθ˙2

融合函数的输出向量记为：

融合函数的输出方程为：

通过把多个输入变量降维，得到了综合误差E和综合误差率EC：

通过信息融合的方法，将二级倒立摆系统的6个输入变量化为2个输入变量，减少了模糊控制器的输入，实现了控制器的降维。

根据二级倒立摆模型的参数，基于MATLAB强大的矩阵运算功能[3]，可以利用命令 K=lqr（A，B，Q，R），得到反馈矩阵K：

由此得到综合误差E和综合误差变化率EC。

2.2 模糊控制器的设计

1）确定输入变量和输出变量

E和EC作为输入变量，u作为输出变量

2）E、EC、u 隶属度函数的设计

图2 E和EC隶属度函数曲线Fig.2 Membership function curves of E and EC

图3 u的隶属度函数曲线Fig.3 Membership function curves of u

3）模糊推理

采用Mamdani最小运算规则。

4）模糊控制规则

根据输入/输出论域上的模糊语言变量划分NB（负大），NM（负中），NS（负小），ZO（零），PS（正小），PM（正中），PB（正大），设计模糊推理规则如表1所示。

表1 模糊控制规则Tab.1 Rules of fuzzy control

5）解模糊

重心法。

3 仿 真

二级倒立摆系统Simulink仿真模型如图4所示。

图4 二级倒立摆系统simulink仿真模型Fig.4 Simulation model of two-stage pendulum

二级倒立摆系统仿真曲线如图5所示。

图5 二级倒立摆系统仿真曲线Fig.5 Simulation curve of two-stage pendulum

4 结 论

通过设计融合函数实现了二级倒立摆模糊控制器的降维，成功解决了模糊“规则爆炸”问题。同时建立了二级倒立摆系统仿真模型，仿真效果较好。

最优控制与模糊控制相结合的方法可以实现二级倒立摆的模糊控制，控制效果良好，结果表明模糊控制能够使倒立摆系统稳定且具有一定的抗干扰性能。

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