于江，王树声

（上海交通大学 数学系，上海 200240）

＊Fitz Hugh－Nagumo方程的小振幅行波解

于江，王树声

（上海交通大学 数学系，上海 200240）

论文主要讨论了Fitz Hugh－Nagumo方程行波解.此时，Fitz Hugh－Nagumo系统可以转化为三维非线性常微分方程组.使用中心流形定理、Lyapunov系数法对此系统进行高维Hopf分支分析，给出了系统具有小振幅的周期解的参数条件.

Fitz Hugh－Nagumo方程；行波解；Hopf分支

近年来，对于描述神经脉冲传导的Fitz Hugh－Nagumo方程

这里f（u）＝u（u－1）（u－a），其中a是常数，且0＜a＜1／2，b＞0，d＞0，其中b，d都是参数，人们进行了大量的研究.此方程是由Fitzhugh［1］和Nagumo［2］等引入的用来描述神经表层刺激和沿轴突的神经冲动的传播的最简单的数学模型之一.

Gao W和Wang J证明了Fitz Hugh－Nagumo系统前波解和脉冲解的存在性［3］.林常、李继彬等利用匹配渐近法，计算了Fitz Hugh神经传导方程的张驰振动解的解析表达式和振动周期，并给出了产生张驰振动的参数区域［4］.袁国勇等给出了两个延迟耦合Fitz Hugh－Nagumo系统的动力学行为［5］.王慕洁、张仲研究了fitz Hugh－Nagumo系统的周期初值问题，用Calerkin方法证明了其的存在唯一性［6］.最近，J.Llibre和C.Valls给出了Fitz Hugh－Nagumo系统解析的首次积分［7］.我们在文中研究Fitz Hugh－Nagumo方程（1）小振幅行波解存在性.

1 Fitz Hugh－Nagumo系统的局部定性分析

考虑行波解（u，v）（x，t）＝（u，v）（x＋ct），其中c是实常数，称为传播速度，于是系统（1）变形为

2 FitzHugh－Nagumo系统的Hopf分支

［1］ Fitz Hugh R.Impulses and Physiological State in Theoretical Models of Nerve Membrane［J］.BiophysJ，1961，1：445－467.

［2］ Nagumo J，EL.An Active Pulse Transmission Line Simulating Nerve Axion［C］／／proc.IRE，1962，50：2061－2070.

［3］ Gao W，Wang J.Existence of Wavefronts and Impulse to Fitz Hugh Nagumo Equations［J］.NonlinearAnal，2004，57：667－676.

［4］ 林常，李继彬，刘曾荣.Fitz Hugh神经传导方程的张驰振动解［J］.应用数学和力学，1985，6：1079－1086.

［5］ 袁国勇，杨世平，王光瑞，等.两延迟耦合Fitz Hugh－Nagumo系统的动力学行为［J］.物理学报，1985，6：1510－1522.

［6］ 王慕洁，张仲.Fitz Hugh－Nagumo神经传导方程的周期初值问题［J］.数理医药学杂志，2000，13：12－13.

［7］ Llibre J，Valls C.Analytic first Integrals of the Fitz Hugh－Nagumo Systems［J］.MathPhys，2009，60：237－245.

［8］ 张芷芬，李承志，郑志明，等.向量场的分岔理论基础［M］.北京：高……