袁小龙，段新力，毕 武，彭仲秋，黄显义，李永华

（1.新疆地矿局 物化探大队，新疆 昌吉 830011；2.乌鲁木齐金维图文信息科技有限公司，新疆 乌鲁木齐 830091）

用轨迹球实现地物化资料三维立体图的旋转

袁小龙1，2，段新力1，2，毕 武1，2，彭仲秋1，2，黄显义1，2，李永华1，2

（1.新疆地矿局 物化探大队，新疆 昌吉 830011；2.乌鲁木齐金维图文信息科技有限公司，新疆 乌鲁木齐 830091）

为了从各个角度观察屏幕上的三维场景，可以通过鼠标的拖动来实现。通常的做法是使场景绕X、Y、Z旋转，但这样操作不方便，旋转效果不理想。有一种更好的方法是：为三维场景建立一个外接球，旋转外接球的同时旋转了球体内的三维场景，这种技术叫轨迹球技术。这里介绍了轨迹球技术的数学原理、计算方法，并用轨迹球技术在OpenGL环境下实现了地物化资料三维立体图的旋转，操作起来方便直观，人机交互体验良好。

轨迹球；虚拟球；三维旋转；四元数

0 前言

随着计算机硬件、软件技术水平的发展，地物化数据图形表现形式越来越丰富。用三维图形显示地物化资料数据，形象直观，易于理解。为了从各个角度观察场景，可以通过旋转不同的坐标轴来实现。但旋转坐标轴操作复杂，不易理解，用户使用不方便，作者在本文提出了使用轨迹球来解决这个问题。轨迹球技术是由Ken Shoemake提出的，假设场景中所有物体都包含在一个球体中，拨动这个球体，使其绕球心旋转，这样球体内的物体跟着旋转，就可以达到旋转物体的目的。在计算机操作中，屏幕上创建一个包含所有物体的轨迹球，通过鼠标在二维屏幕上的移动，模拟旋转球体，可人机交互良好地实现三维场景的旋转。

1 轨迹球坐标系的建立

（1）屏幕上的设备坐标称为屏幕坐标，如下页图1（a）所示，矩形左上角坐标为（0，0），右下角坐标为 （w，h），w为视图的宽度，h为视图的高度，屏幕坐标以像素为单位，X方向朝右为正，Y方向朝下为正。

（2）定义正方形坐标系，如下页图1（b）所示，正方形左下角坐标为（－1，－1），右上角坐标为（1，1），中心点坐标为（0，0），X 方向从左向右增大，Y方向从下向上增大。

（3）将屏幕坐标 （screenX，screenY）转换到正方形坐标（square X，squareY）系内。在X方向，将坐标从范围（0，width）转换到（－1，1），坐标变换为线性变换，令

当screenX＝0时，square X＝－1；当screenX＝width时，square X ＝1。将以上参数代入公式（1），得将a、b值代入公式（1），得到X 方向坐标转换函数公式（2）。同理，可计算出Y方向坐标转换函数公式（3）。

这样转换后的坐标X范围为［－1，1］，Y范围为［－1，1］，屏幕中心点坐标为（0，0）。

（4）做正方形的内切圆，如图1（c）所示。内切圆以它的任意一条直径为轴，旋转180°，形成一个球体，如图1（d）所示。设球体的中心为（0，0，0），半径为1，我们把这个球体称为轨迹球，轨迹球上的坐标系称为轨迹球坐标系。

（5）将正方形坐标 （x，y）转为轨迹球坐标（u，v，w）。首先，把正方形内的点分成两部份，一部份在其内切圆内，另一部份在其内切圆之外。鼠标点击的位置 （x，y）落在内切圆内，即时，以（x，y）为基点，做垂直于屏幕的射线，与轨迹球的外半球（屏幕上能看到的半球）相交于P点，如图1（e）所示。在拖动鼠标时，相当于以P点为基点拖动球体，鼠标点击的位置P（x，y）落在内切圆之外，即时，如图1（f）所示。基点P在轨迹球之外，无法拖动球体，必须重新找一个在轨迹球上的基点，在uov平面内，连接OP，OP交内切圆于P’点，以P’点为基点拽动轨迹球。设θ为OP与OU的夹角，可得：

因轨迹球半径为1，可得：

综合鼠标点击位置落在内切圆内和内切圆外两种情况，可得公式（4）。

2 旋转向量的计算

（1）旋转轴及旋转角度的确定。如图2（a）所示，鼠标从P1点移动到P2点，得到两个矢量，旋转所张成平面的法向量，通过计算的叉乘，可得到旋转轴

旋转角度为OP1与OP2之间的夹角θ，在图2（a）中，M为正方形左边的中点，N为正方形右边的中点，鼠标从M点拖动到N点时，轨迹球绕V轴旋转了180°，同样操作，如果要使轨迹球绕V轴旋转360°，则旋转角度得取θ的二倍。在实际使用过程中，旋转角度α取θ的二倍更符合用户习惯。

（2）多次旋转累加。如果鼠标进行了多次拖动，则需要将多次拖动的效果累加起来。如图2（b）所示，第一次拖动的旋转量为，第二次拖动的旋转量为

（3）旋转矩阵的计算。四元数 Quat4（x，y，z，w）用来存储旋转轴和旋转角度，设 （a，b，c）为旋转轴向量，θ为旋转角度，根据四元数旋转公式：

如果鼠标进行了两次以上的拖动操作，则需将多次旋转效果进行累加。设Q1（w1，x1，y1，z1），Q2（w2，x2，y2，z2）为两次旋转的四元数，将两次旋转效果累加按公式（5）计算。

注意：Q＝Q1＊Q2中，先进行的是右边项Q2的旋转，再进行左边项Q1的旋转。将最终累加的四元数转换成旋转矩阵M［2］，在OpenGL中乘以这个旋转矩阵M，实现轨迹球的旋转。旋转矩阵M按公式（6）计算。

3 轨迹球旋转地物化三维立体图实例

用OpenGL函数建立三维地质体模型，在鼠标移动的响应函数中，通过轨迹球计算出旋转矩阵，当前模型视图矩阵乘以旋转矩阵，实现旋转操作。

（1）实例1：对布格重力网格数据做切割法场分离，切割出五层（一层为一个网格距）的区域场和剩余场，把布格重力和五层剩余异常放在一起显示，如图3所示。用轨迹球旋转操作，可以轻松地旋转到用户想要的任意位置。

图3 用轨迹球旋转重力三维图Fig.3 Rotating 3Dgraphics of gravity by using arcball

（2）实例2：在钻孔数据上，通过平行轮廓线截面法创建矿体模型，用轨迹球旋转操作可以从各个角度观察矿体及钻孔。如图4所示。

4 结束语

作者在本文讨论了轨迹球坐标系的建立，旋转轴及旋转角度的计算，用四元数表达旋转向量，多次旋转效果的累加，以及四元数转换成旋转矩阵。在OpenGL环境下编程实现了三维地质模型体绕任意轴旋转，并给出了两个实例，用户可以用二维设备（鼠标）轻松、直观地旋转三维场景。

图4 用轨迹球旋转矿体及钻孔Fig.4 Rotating 3Dgraphics of drill hole and ore body by using arcball

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TP 317.4

A

10.3969／j.issn.1001－1749.2012.05.22

1001—1749（2012）05—0622—03

2011－11－24 改回日期：2012－06－16

袁小龙（1982－ ），男，本科，主要从事物化探软件开发、数据处理和资料研究工作。