秦晓伟，刘新国

（中国海洋大学数学科学学院，山东青岛266100）

线性矩阵方程的广对称解＊

秦晓伟，刘新国

（中国海洋大学数学科学学院，山东青岛266100）

研究线性矩阵方程的广对称解，对Bunch，Sun，Tisseur等人的一些已有结果进行推广，并把所得结果用于结构向后误差分析。

线性矩阵方程；广对称矩阵；结构矩阵

线性矩阵方程具有广泛的应用，例如不变子空间的扰动分析［1］、特征空间的向后误差分析［1－2］、特征值反问题、结构向后误差分析［2］、多元统计分析［3］、有限元模型修正［4］等。

已经有大量的关于线性矩阵方程的研究，XB＝C是最简单同时也是最常见的矩阵方程。针对这个矩阵方程，Sun［1］推广Bunch，Demmel，Van Loan［5］的结果，给出了对称（Hermite）解及最小F范数解的显示表达式，并应用于研究特征子空间的结构向后误差。Tisseur［2］把Sun的结果推广到反对称（反Hermite）矩阵，并用于研究结构向后误差分析。

本文研究线性矩阵方程的广对称解。使用Karow，Kressner和Tisseur［6］的纯量积框架定义了广对称矩阵。讨论了线性矩阵方程XB＝C的广对称解，所得结果是Sun及Tisseur有关结果的推广。研究一般的线性矩阵方程的广对称解，所得结果在有限元模型修正方法中有潜在应用。

本文中，K表示实数域R或复数域C，相应地，Km×n表示Rm×n或Cm×n。并用＊表示矩阵转置T（实情形）或共轭转置H（复情形），其他记号是常规的，可参见文献［7］。

1 广对称矩阵

定义1 给定β∈K满足｜β｜＝1，以及P∈Kn×n满足P2＝In，P＊＝P。一个矩阵A∈Kn×n若满足

则称矩阵A为广对称矩阵。

以上定义的广对称矩阵类包含了一些特殊的重要子类，例如：

（1）K＝R，此时β＝±1，P是非奇异正交阵。取P＝In，则得到实对称矩阵类及反对称矩阵类。……