郭晓霞，郭培昌

（中国海洋大学数学科学学院，山东青岛266100）

求解扩展的Sylvester共轭矩阵方程＊

郭晓霞，郭培昌

（中国海洋大学数学科学学院，山东青岛266100）

研究扩展Sylvester共轭矩阵方程及更一般形式复矩阵方程的解，利用复矩阵的实形式方法得到求解方程的迭代算法。数值例子展示了该算法的有效性。

实形式；扩展的Sylvester矩阵方程；解

在稳定性和控制理论中，矩阵X－AXB＝C，AXXB＝C和AXB＋CXD＝F有重要的应用［1－2］。借助于复矩阵的实形式，复矩阵方程X－AB＝C的求解和解的存在性、连续性得到了好的结果［3］。类似于文献［3］中的复矩阵实形式方法，文献［4］给出了矩阵方程AX－B＝C的解的表达式。另外，文献［5－6］给出了求解实矩阵方程AXB＝F最小二乘解的有限步迭代算法。最近，文献［7］研究了一类扩展的Sylvester共轭复矩阵方程AXB＋CD＝F，给出了一个有限步迭代算法求解连续的扩展Sylvester共轭矩阵方程。但是这个算法在迭代过程中涉及复数运算，每一步需要对若干矩阵求共轭。本文将利用复矩阵的实形式，给出复矩阵方程AXB＋CD＝F的等价实形式，推导这类方程的新求解算法。本文的思路与文献［7］不同，新算法在迭代过程中避免了复数运算。另外，新算法也可以推广到更一般的复矩阵方程上。文中的2个数值例子展示了该算法的有效性。文章中符号tr（A），AT，AH和分别表示矩阵A的迹、转置、共轭转置和共轭。‖A‖表示实矩阵A的Frobenius范数，‖A‖＝

1 实矩阵方程

其中，A，C∈Rm×r，B，D∈Rs×n，F∈Rm×n是已知矩阵，X∈Rr×s是未知矩阵。文献［7］给出了下面的求解方程（1）的迭代算法：

给定初值x（0），令

k∶＝0，计算

k＝k＋1；重复上述迭代直到R（k）＝0或R（k）处于误差允许范围内。……