康东升,李智萍,方 达

(中南民族大学 数学与统计学学院,武汉 430074)

1 问题的引入

本文研究下列椭圆方程:

(1)

则称u为方程(1)的解. 求方程(1)的解等价于求

的临界点.

研究方程(1)涉及到Hardy不等式[1,2]

近些年来,有作者研究含有Hardy项的椭圆极限问题:

(2)

满足:

(3)

其中S(λ)是与方程(2)对应的最佳Sobolev常数,Up,λ(x)是方程(2)的径向解, 满足:

其中C1,C2是关于λ,p和N的正常数,a(λ)和b(λ)是函数f(t)=(p-1)tp-(N-p)tp-1+λ(t≥0)的零点,满足:

并且存在正常数L1(λ)和L2(λ),使得:

(4)

以上结果对于研究问题(1)非常重要.

β:=b(λ)-δ,βi:=b(λi)-δ(i=1,2,…，k).

(5)

在本文中,我们假设:

(H1)λ1≤λ2≤…≤λk,k≥2 且存在l∈{i=0,1,2,…，k-1}, 使得:

λl≤0<λl+1≤λl+2≤…≤λk,(l0=0),

本文的主要结果如下.

定理1 假设(H1),当1max{p2,p+1}时, 如果下面2个条件之一成立:

则方程(1)至少存在一个正解.

2 正解的存在性

下列引理给出了泛函J0的Palais-Smale条件.

证明应用集中紧性原理[4,5]和文[6]中的思路,可以得到需要的结论,过程略.

下面我们研究(3)式的极值函数.令:

0<ρ

则存在正常数C1和C2使得∀x∈Bρ(ak),1≤i≤k-1,有C1≤|x-ai|≤C2成立.

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

其中L1(λk)和L2(λk)是(4)式中定义的常数,ωN是RN中单位球的体积.

证明文献[6]已经证明了(6)和(7)式,我们现在证明(8)和(10)式. (9)式的证明和(10)式的证明类似.

先研究b(λ)的性质. 容易验证:

f(t)=(p-1)tp-(N-p)tp-1+λ,t∈[0,+∞).

有唯一的最小值点δ=(N-p)/p,且f(t)在(0,δ)上单调递减,在(δ,+∞)上单调递增.

A1(ε)+A2(ε)+A3(ε).

(11)

下面我们估计A1(ε),A2(ε)和A3(ε)的值.

(12)

(13)

其中

另一方面,

O(εp+pb(λk)-N)=o(εp).

(14)

(15)

注意到(15)式中最后一个积分存在.又由

(16)

可知(15)式中倒数第2个积分收敛.由(15)和(16)式得:

(17)

另一方面,由(15)和(16)式得:

A2(ε)=O(εp),A3(ε)=O(εp).

(18)

引理3 在定理1的假设条件下, 有：

(19)

证明注意到:

且

因此,

(i)首先考虑下面情形:

则pb(λk)-N+p>p.由引理2可得:

当ε充分小时可得(19)式.

则pb(λk)-N+p=p. 由引理2得:

当ε充分小时可得(19)式.

引理3证毕.

定理1的证明根据引理1～引理3,应用山路引理[7,8]和极大值原理[9], 可以得到定理1的结论……