田立平，陈昌

(北京物资学院信息学院，北京 101149)

论连续函数的一致连续性

田立平，陈昌

(北京物资学院信息学院，北京 101149)

给出了在不同区间具有不同性质的连续函数的一致连续的充分条件或充要条件.

连续函数;一致连续函数;充分条件;充要条件;单调性

函数f(x)在某区间内的连续性是指它在区间内的每一点都连续，是一个局部概念，而函数在区间的一致连续是一个整体性质，反映的是函数在区间上更强的连续性［1］.关于函数一致连续问题的理解与应用不仅是一个重点而且是一个难点［2］.本文就有限和无限开区间上的连续函数、具有单调性的连续函数、可导的连续函数、具有渐进性质的连续函数以及具有周期性质的连续函数给出一致连续的充分条件或充要条件.

1 有限开区间上连续函数的一致连续性条件

连续函数与一致连续函数在概念上的主要区别在于，连续函数定义中存在的δ与区间中不同的点有关，亦即不同点处的δ是不同的，由于区间中点的稠密性，一般无法找出一个满足所有点处要求的公共的δ，这也正是连续函数局部性质的原因.而一致连续概念中存在的δ是公用的，与不同的点没有关系，因而是整体性质.因而证明或判断是否一致连续关键看是否能够找到共同的又与不同点没有关系的δ.著名的Cantor定理，即函数f(x)在[a，b]上一致连续的充分必要条件是f(x)在[a，b]上连续.其中一种典型的证明方法就是用有限覆盖定理.实质就是每一个开覆盖对应一个δi，而从有限个开覆盖即从有限个δi中是能够选出一个公共的δ的.我们在有限开区间上所给出连续函数的一致连续性条件就是基于如此的考虑.具体思路为，在有限开区间的一个端点处给出极限值这一条件就蕴含着存在一个δ1，在另一端再给出极限值这一条件，就蕴含着存在另一个δ2，而由于在内闭区间上一致连续，存在一个公用δ3，这样在有限的δi中再找一个公用的δ就可以了.下面给出结论及其具体证明.

2 无限开区间上连续函数的一致连续性条件

推论4f(x)在(a，+∞)上一致连续的充分条件是f(x)在(a，+∞)上连续且f(a+)和f(+∞)都存在.

推论5f(x)在(－∞，b)上一致连续的充分条件是f(x)在(－∞，b)上连续且f(b－)和f(－∞)都存在.

3 具有渐进性质的连续函数的一致连续性条件

4 具有单调性质的连续函数的一致连续性条件

结论4若函数f(x)在有限或无穷区间(a，b)连续、单调、有界，则函数f(x)在(a，b)上一致连续.

证明1)设函数f(x)在有限区间(a，b)上单调递增，又因为f(x)在(a，b)上有界，所以，函数f(x)在a处存在左极限f(a+0)，同时在b处存在右极限f(b+0).再由前面讨论知，f(x)在(a，b)上一致连续.

2)a为有限数，b=+∞，此时令

由此知f(x)在(－∞，+∞)上一致连续.

5 具有可导性质的连续函数的一致连续性条件

结论5f(x)在X上一致连续的充要条件是函数f(x)在区间X上连续，且满足f'(x)在X上有界.

6 具有周期性质的连续函数的一致连续性条件

结论6连续的周期函数一定一致连续.

7 具有确界或振幅性质的连续函数的一致连续性条件

8 一般函数的一致连续性条件

［1］华东师范大学数学系.数学分析［M］.3版.北京:高等教育出版社，2005.

［2］裴礼文.数学分析中的典型问题与方法［M］.2版.北京:高等教育出版社，2006.

On Uniform Continuity of Continuous Function

TIAN Li-ping，CHEN Chang

(School of Information，Beijing Wuzi University，Beijing 101149，China)

Gives sufficient conditions or necessary and sufficient conditions of uniform continuity of continuous functions with different properties in different intervals.

continuous function;uniform continuous function;sufficient conditions;necessary and sufficient conditions;monotonicity

O174

A

1007－0834(2011)03－0001－03

10.3969/j.issn.1007－0834.2011.03.001

2010－09－17

北京市优秀教学团队——“数学公共基础系列课程教学团队”项目(PHR200907230);北京市教改课题“大学数学套餐制教学模式探索与研究”

田立平(1963—)，男，河北乐亭人，北京物资学院信息学院教授，主要研究方向:数学物理方程反问题和模型分析及参数估计方法在信息系统中的应用.