姬小斌, 于 涛

(浙江师范大学数理与信息工程学院,浙江金华 321004)

0 引 言

令 C表示复平面,D表示复平面上的开单位圆盘,Π+表示复平面上的开上半平面,即Π+={z∈C:Imz>0},I mz表示复数 z的虚部.H(D)表示定义在 D上解析函数的全体,H(Π+)表示定义在Π+上解析函数的全体.设φ是Π+上的解析自映射,由φ诱导的复合算子 Cφ定义为 Cφ(f)=f°φ,∀f∈H(Π+).

单位圆上的 Hardy空间定义为

关于 Hardy空间复合算子的讨论可参阅文献[1].

令 H2(Π+)表示上半平面上的 Hardy空间,即

关于这类空间上复合算子的讨论可参阅文献[2-3].

单位圆盘上的 Bloch空间定义为

定义范数‖f‖B=|f(0)|+B(f),Bloch空间在此范数下成为一个 Banach空间.

令 A-1(D)表示单位圆盘上的增长型空间,即

A-1(D)是一个Banach空间.关于此空间的更多探讨可参阅文献[5-6].

文献[7]给出了复合算子在 Bergman空间和 Hardy空间的谱结构,并提出猜想:复合算子在圆盘上的Bloch空间和BMOA空间的谱等于闭单位圆盘;文献[8]证明了复合算子在圆盘上的 Bloch空间的谱等于闭单位圆盘;文献[9]证明了复合算子在圆盘上的BMOA空间的谱等于闭单位圆盘,其证明思想主要来源于文献[10].本文主要利用复合算子在单位圆盘上的Bloch空间和增长型空间的谱结构,得到了复合算子在上半平面Bloch空间和增长型空间的谱.

设 X是一个 Banach空间,B(X)代表 X上所有有界算子形成的算子空间,设 A∈B(X),用 re,X(A)代表算子A的本性谱半径.

1 上半平面的 Bloch空间上的复合算子的谱

证明 对 f∈H2(D),有

引理 3得证.

显然 ,(2Cμ)-1Cφ(2Cμ)=Cλ,因此σB0(Π+)(Cφ)=σB0(D)(Cλ).

定理 1 设φ是Π+上的解析自映射,若φ是单射,不是自同构,φ(i)=i,re,H2(Π+)(wCφ)≠0,则σB∞(Π+)(Cφ)=D.

2 上半平面的增长型空间上的复合算子的谱

引理 4[8]设φ是 D上的解析自映射……