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π-H-模余代数的Morita-Takeuchi关系*

2011-12-17陈丹慧李金其

关键词:数理代数线性

陈丹慧, 李金其, 张 涛

(1.浙江师范大学数理与信息工程学院,浙江金华 321004;2.武警上海政治学院数理教研室,上海200435)

0 引言

Morita定理在研究模和环的性质中有着很重要的地位.Takeuchi[1]给出了余模的Morita关系,故称之为Morita-Takeuchi关系,简称为M-T关系,它为研究余模和余代数的性质提供了新的方法.

若H是域K上的co-Frobenius Hopf π-余代数,A是π-H-余模代数,文献[2]建立了Smash积π-分次代A°之间的Morita关系.本文则研究了π-H-模余代数,得到了与之相对应的M-T关系.

本文的讨论都在域 K上进行,为完整起见,先给出一些基本概念[1,3-4].为方便,文中省略和号“∑”.

设C是余代数,(M,ρM)是右C-余模,(N,ρN)是左 C-余模,余张量积 M□CN 是指 ρM⊗idN-idM⊗ρN:M⊗N→M⊗C⊗N的核,即 M□CN=ker(ρM⊗idN-idM⊗ρN).

定义 1[3]Hopf π-余代数 H=({Hα,mα,1α},Δ,ε,S)指的是 π-余代数 H=({Hα},Δ,ε)及一族线性映射 S={Sα:Hα→Hα-1}α∈π(称为 H 的对极)满足:

1)对任意的 α∈π,(Hα,mα,1α)为代数;

2)对任意的 α,β∈π,Δαβ:Hαβ→Hα⊗Hβ及 ε:H1→K 为代数同态;

3)对任意的 α∈π,mα(Sα-1⊗idα)Δα-1,α= ε1α=mα(idα⊗Sα-1)Δα,α-1.

显然,(H1,m1,11,Δ1,1,ε,S1)是 Hopf代数.

若对任意的α∈π,Hα都是有限维的,则称Hopf π-余代数H是有限型的;若每个Sα都是双射,则称对极 S={Sα}α∈π是双射.

1 π-H-模余代数

定义2 设H是Hopf π-余代数,C是余代数.若对任意的α∈π,C是Hα-模,且对任意的α,β∈π,c∈C,hαβ∈Hαβ,l∈H1,满足 Δ(hαβ·c)=h(1,α)·c1⊗h(2,β)·c2,ε(l·c)= εH(l)εC(c),则称 C 为左 π-H-模余代数.

由文献[3]知,设 H 是 Hopf π-余代数,V 是线性空间.若对任意的 α,β∈π,ρVα:V→V⊗Hα满足

则称(V,{ρVα}α∈π)是右 π-H-余模.

定义 3 设 H 是 Hopf π-余代数,C 是余代数,且(C,{ρCα}α∈π)是右 π-H-余模.若对任意的 α∈π,满

定义4 设 C 是左 π-H-模余代数.若对任意的 α∈π,φα:C→Hα是 Hα-模同态,则称 φ ={φα}α∈π为C的π-余积分.

定理1 设C是左π-H-模余代数.若存在π-余积分 φ={φα}α∈π,且对任意的 α,β∈π满足

证明 对任意的c∈C,有:

定理2 设C是左π-H-模余代数.若存在π-余积分φ={φα}α∈π,且对任意的α,β∈π满足式(1),则 C ×H=({C⊗Hα}α∈π,Δ ={Δαβ},ε)为 π-余代数,称之为 π-Smash 余积.其中,对任意的 c∈π,h∈

证明 对任意的 α,β,γ∈π,有

易证(idα⊗ε)Δα,1=(ε⊗idα)Δ1,α=id.所以,C × H 为 π-余代数.

2 Morita-Takeuchi关系

引理2 设C是左π-H-模余代数.若存在π-余积分φ={φα}α∈π,且对任意的α,β∈π满足式(1),则C有诱导的左和右的π-C×H-余模结构,其中对任意的α∈π,c∈ C,定义

证明 对任意的α,β∈π,c∈C,有:

证明 由引理3的1)及式(2)和式(4)知,对任意的α∈π,有

证明 1)先证明f的定义是合理的(其中记Δ(λα)=λα(1)⊗λα(2)).由于

故Im G⊆C□˜C×HC.另一方面,由于

有了以上的准备工作,可得到定理3.

[1]Takeuchi M.Morita theorems for categories of comodules[J].J Fuc Sci Univ Tokyo Sect 1A Math,1977,24(3):629-644.

[2]Wang Shuanghong.Morita contexts,π-galois extension for Hopf π-coalgebras[J].Comm Algebra,2006,34(2):521-546.

[3]Virelizier A.Hopf group-coalgebras[J].J Pure Appl Algebra,2002,171(1):75-122.

[4]Sweedler M E.Hopf algebra[M].New York:Benjamin,1969.

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