牛朝阳，张剑云，郑志东

（解放军电子工程学院，合肥 230037）

0 引言

在实际工程应用中，为了减少成本，降低系统复杂度，希望利用尽量少的天线阵元获得需要的阵列孔径。对于直线阵列，目前有两种主要的阵列配置方法，一种是均匀线阵，一种是非均匀线阵。对于前者的研究比较深入，可以利用传统的道尔夫－切比雪夫综合法、泰勒综合法、傅里叶逆变换法和数值优化等方法实现阵列优化；相比于均匀阵列，在相同约束条件下，非均匀阵列具有更多的自由度，可以得到更好的优化效果，目前对于非均匀阵列的优化方法主要有动态规划法、模拟退火法等。对于25个阵元，50λ（λ为入射信号波长）孔径长度的线阵，文献[1]采用动态规划法得到的方向图峰值旁瓣为－10.14dB，文献[2]采用模拟退火算法，得到峰值旁瓣为－12.07dB的方向图，现有文献均没有对波束形成权值进行同时联合优化。文中运用多种群并行进化遗传算法对天线阵元进行布阵优化，采用稀疏栅格编码和实数编码两种方式，优化后波束方向图峰值旁瓣分别达到了－11.8dB和－14dB，优于文献[2]方法1.93dB；凸优化方法结合遗传算法对非均匀线阵进行阵元位置和波束形成权值联合优化，可将波束方向图峰值旁瓣下压制到－16.58dB，优于文献[2]方法4.51dB。

1 阵列模型

图1所示为孔径长度为D、阵元数为N的线阵模型。阵元间距矢量为d＝[d1＝0，d2，…，dN]·λ（λ为波长），入射信号为均匀平面波。令波束形成权值矢量为 W ＝ （W1，W2，…，WN）T，则对于无方向性阵元形成的阵列波束方向图为：

其中，u＝sin（θ），－π／2≤θ≤π／2，θ为扫描角，k＝2π／λ。由式（1）可知，波束方向图形状由阵元位置d和波束形成权值W所决定，因此可以通过调整这两个参数向量来优化方向图。

2 基于遗传算法的非均匀线阵布阵优化

对于非均匀线阵条件下的布阵优化，可等效为如下非线性优化问题：

其中，Psm为最大旁瓣值，Pmm为最大主瓣值，D为阵列孔径，N为阵元数。此非线性优化问题可用遗传算法来求解，为了防止算法早熟，采用多种群并行进化方案，算法方框图如图2所示。

2.1 稀疏栅格编码的遗传算法优化

图2 布阵优化算法框图

编码是进行遗传优化的第一步，也是关键的一步，对于孔径为D个波长的阵列，以半波长为间距可以形成2D个栅格，如图3所示。具有（2D＋1）个位置点，N个阵元非均匀的分布在这些栅格点上，采用二进制编码形式，在某个栅格点上如有阵元记为“1”，如没有阵元记为“0”，为了保持阵列孔径不变，要求阵列两个端点有阵元。因此染色体具有如下形式：

图3 阵列栅格

对于孔径D＝50λ，阵元数N＝25的非均匀阵列，采用上述编码方案和最优保留策略，种群规模POP＝25，种群数量为NsubPOP＝8，采用两点交叉，交叉概率pc＝0.6，变异概率pm＝0.01。优化结果如图4所示。以1号阵元为参考点，阵元在线阵上的分布为[0 3 8 8.5 16 16.5 21.5 22 23 25.5 27 28 28.5 29 30 30.5 32 32.5 33 34.5 39 40 42.5 43.5 50]，单位为波长。从仿真结果来看，优化得到的波束方向图旁瓣水平虽略高于文献[2]，但计算量上占有优势[3]。

图4 稀疏栅格编码遗传优化方向图

为了验证算法的鲁棒性，采用上述阵元位置优化结果，扫描波束指向即可得到不同指向时的波束方向图，图5给出了不同波束指向的方向图峰值旁瓣曲线，可见，当扫描波束指向时，方向图峰值旁瓣基本保持不变，说明该算法的鲁棒性与现有文献方法相当。

图5 不同波束指向时的旁瓣峰值

2.2 采用实数编码的遗传算法优化

上述采用半波长整数倍的栅格编码，优化变量被限制在固定长度的有限个栅格上，减少了自由度，为了进一步压制旁瓣，可采用实数编码[4]，为了防止阵元间的互耦，阵元间距离必须大于dc，假设前（N－1）个阵元都向后占据长度为dc线段，则共有长为（N－1）dc的线段上不能分布阵元，剩下的区间总长为：

在区间[0 S]上生成（N－2）个随机ci，i＝1，2，…，N－2，把这（N－2）个数按照从小到大的顺序排列为c1≤c2… ≤cN－2，记c0＝0，cN－1＝D，x0＝0，xN－1＝0，那么阵元位置的编码为：

可以证明[5]：式（5）所采用的编码方式满足任意阵元间距大于dc的条件，因此在优化过程中不需要再考虑此约束条件。此种编码方式的染色体为：

图6 实数编码方向图优化

对于孔径D＝50λ，阵元数N＝25的非均匀稀布阵列，采用上述编码方案和最优保留策略，种群规模POP＝20，种群数量为NsubPOP＝10，采用随机遍历选择策略，单点交叉，交叉概率pc＝0.6，变异概率pm＝0.01。优化所得方向图如图6所示，阵元分布为[00.62 2.02 3.33 4.30 5.10 6.10 6.8 8.56 11.18 11.8 12.53 13.33 14.10 14.94 16.69 17.40 18.22 19.04 20.78 21.90 22.60 25.5 26.38 50]，单位为波长，结果保留小数点后两位有效数字。波束指向45°时的方向图如图7所示，此时出现较大旁瓣，因此可以得到结论：采用实数编码在一定程度上压低了方向图旁瓣（－14dB），优于文献[2]方法1.93dB，但算法鲁棒性有所变差。

图7 实数编码方向图优化（波束指向45°）

3 波束形成权值和阵元位置联合优化

3.1 凸优化理论概述

凸优化，又称为凸规划，提出于上世纪40年代，发展到上世纪90年代，人们已经认识到很多优化问题都表现出凸性，因此优化问题的分水岭不是线性与非线性，而是凸性与非凸性。近年来，凸优化在理论研究和工程应用方面取得了显著进展，通过合理的系统建模和求解算法，很多工程问题可以借助凸优化这一数学工具得到有效解决。通常认为，只要是凸问题，总是可解的，因此，只要一个问题被表示为凸形式，则该问题实际上就已经被解决了。凸优化问题的基本数学模型为：

其中，f0，f1，…，fm为凸函数，等式约束为仿射函数。

3.2 非均匀线阵波束形成权值优化

对于非均匀线阵的波束形成权值优化，不能采用均匀线阵的窗函数方法，可以借助凸优化方法解决此优化问题。在图1所示阵列模型中，阵列方向矢量可以表示为：

则式（1）可以写为：

其中，（·）H表示共轭转置。以最小化方向图峰值旁瓣为目标对权值进行优化，此问题可以描述为：

其中：As为方向图旁瓣区域为方向图指向。显然式（10）是非线性优化问题，很难给出解析形式的最优解，但可以肯定的是：在阵元位置确知的情况下，式（10）满足凸优化条件[6]，因此可以利用凸优化进行求解。

3.3 联合优化

将凸优化算法和遗传算法结合起来，对阵元位置和波束形成权值进行联合优化，有望进一步压低方向图峰值旁瓣。有两种联合优化方法，一是先利用遗传算法对阵元位置进行优化，然后根据已知的阵元配置进行权值优化，此种方法可称之为串行联合优化；二是在利用遗传算法进行位置优化的过程中，在每代染色体适应度值计算过程中引入凸优化来寻找最佳波束形成权值，此种方法可称之为并行联合优化。

图8 稀疏栅格编码联合优化方向图

图9 实数编码联合优化方向图

计算机仿真表明，两种联合优化方法得到的波束方向图旁瓣水平相当，因此下面仅给出针对前面阵列优化结果，利用凸优化方法进行波束形成权值优化所得的波束方向图和优化权值。图8给出了针对稀疏栅格编码遗传优化所得阵列进行权值凸优化后的方向图，可见，方向图峰值旁瓣下降到－13.3dB，其优化权值为：[0.0271 0.0202 0.0356 0.0202 0.0303 0.0321 0.0363 0.0422 0.0414 0.0552 0.0560 0.0545 0.0500 0.0604 0.0699 0.0473 0.0554 0.0486 0.0615 0.0514 0.0199 0.0205 0.0341 0.0164 0.0134]；图9给出了针对实数编码遗传优化所得阵列进行权值凸优化后的方向图，峰值旁瓣下降到－16.58dB，其优化权值为：[0.0103 0.0086 0.0329 0.0237 0.0361 0.0355 0.0366 0.0444 0.0435 0.0639 0.0562 0.0426 0.0715 0.0631 0.0687 0.0509 0.0553 0.0611 0.0459 0.0365 0.0339 0.0394 0.0162 0.0214 0.0018]。这里优化权值为实数是合理的，因为优化时波束指向为0°，因此实际上只需要进行幅度加权即可。

4 结论

对于非均匀线阵，在给定阵元数和阵列孔径的约束条件下，文中讨论了以降低波束方向图峰值旁瓣为目标的阵元位置和波束形成权值优化方法。对于阵元位置优化，采用基于栅格编码和实数编码多种群并行进化遗传算法，前者鲁棒性优于后者，但后者优化效果好于前者和文献[1－2]；对于阵元位置和波束形成权值的联合优化问题，采用凸优化与遗传算法相结合的联合优化方法，可将方向图峰值旁瓣压制到－16.58dB。文中方法在阵列优化、波束形成等工程应用中具有实用意义。

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[2]Murino V，Trucco A，Regazzoni C S.Synthesis of unequally paced arrays by simulated annealing[J].IEEE Trans Antennas Signal Processing，1996，44（1）：119－123.

[3]张子敬，赵永波，焦李成.阵列天线的遗传优化[J].电子科学学刊，2000，22（1）：174－176.

[4]陈客松，何子述，韩春林.非均匀线天线阵优化布阵研究[J].电子学报，2006，36（12）：2263－2267.

[5]张昭阳，赵永波，黄敬芳.任意位置稀布阵天线的遗传优化[J].火控雷达技术，2009，38（3）：68－70.

[6]杨洁.基于凸优化的宽带阵列方向图综合算法[J].微计算机信息，2009，25（5－1）：288－290.