王培光，侯颖，刘静

（1.河北大学 电子信息工程学院，河北 保定 071002；2.河北大学 数学与计算机学院，河北 保定 071002）

E-mail：pgwang＠hbu.edu.cn

研究报告

一类分数阶微分方程的广义拟线性化方法

王培光1，侯颖2，刘静2

（1.河北大学 电子信息工程学院，河北 保定 071002；2.河北大学 数学与计算机学院，河北 保定 071002）

采用广义拟线性方法讨论了Caputo分数阶微分方程初值问题，给出2个单调迭代序列，证明它们一致且平方收敛于方程的解.

分数阶微分方程；广义拟线性化方法；平方收敛

近年来，由于分数阶微分方程可描述现实世界的许多问题，其理论及性质已被广泛地应用于物理学、生物学等领域中，因而引起了人们的广泛关注［1-5］.

拟线性化方法［6］是研究微分方程定性问题的方法之一，在特定的条件下，可通过构造上、下解逐步逼近微分方程的解，保证了线性方程解的单调序列的平方收敛.本文通过使用广义拟线性方法，得到了Caputo分数阶微分方程

解的单调序列的平方收敛的结果.其等价的Volterra分数阶积分方程为

其中f∈C［J，R］，J＝ ［t0，T］，0＜q＜1，Γ为 Gamma函数.对于Caputo线性分数阶微分方程

其中g∈Cq［J，R］，且对q为 Hölder连续，其唯一解

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分别是含1参数和2参数的Mittag-Leffler方程.

首先给出如下定义及引理.

定义1 若存在α，β∈Cq［J，R］且满足

则称α（t），β（t）分别是式（1）的下解和上解.

引理1［7］令α，β∈Cq［J，R］分别为式（1）的下解和上解，且

当α（t0）≤β（t0）时，有α（t）≤β（t），t∈J.

引理2 令α，β∈Cq［J，R］分别为式（1）的下解和上解，α（t）≤β（t），t∈J，且f∈C［Ω，R］，Ω＝［（t，x）∶α（t）≤x≤β（t），t∈J］，则存在式（1）的解x（t）满足

证明令P∶J×R→R且P（t，x）＝max［α（t），min（x，β（t））］，则f（t，P（t，x））是f在J×R上的连续扩张.由于f（t，x）在Ω上有界，则f（t，P（t，x））在 Ω上也有界.因此

定理1 假设

1）α0，β0∈Cq［J，R］为式（1）的下解和上解，α0（t）≤β0（t），t∈J；

2）f∈C［Ω，R］，fx，fxx存在且连续，且存在φ∈C［Ω，R］，φx，φxx存在且……