郭志林 陆风玲

(商丘师范学院数学系，中国 商丘 476000)

本文考虑下列变系数广义神经传播方程

(1)

其中，X=(x,y)，Ω⊂R2为有界区域，∂Ω为其光滑边界，系数α(u)，β(X)满足0<α0≤α(u)≤α1，0<β0≤β(X)≤β1，α0,α1,β0,β1为常数，且α(u),f(u),g(u)关于变量u满足Lipschitz连续条件, 即

|ξ(u1)-ξ(u2)|≤Cξ|u1-u2|，u1,u2∈R,ξ=α,f,g,Cξ为正常数

(2)

且f(u),g(u)具有本文论证所需的二阶有界偏导数.

这一新型非线性发展方程，在神经传播过程中具有深刻的实际背景[1-3]，在生物、物理等领域有着广泛的应用，目前已有很多文献对此方程进行了研究[4-5].本文研究了方程(1)的非协调有限元在半离散格式下的收敛性.由于系数的非线性变化，相容误差中的边界估计若仍采用传统的方法，将无法得到超逼近的结果，因此，通过引入平均值技巧，得到了相容误差比插值误差高一阶的结果以及关于u在能量模意义下最优的误差估计和超逼近性质.最后，利用插值后处理技巧得到了半离散格式下整体超收敛结果.

1 单元的构造

定义一般单元K上的函数v(x,y)如下：

相应的有限元空间为

其中，[vh]表示vh跨过边界F的跳跃度，当F⊂∂Ω时，[vh]=vh.

2 各向异性网格下的半离散格式及收敛性分析

(3)

问题(1)的非协调有限元半离散格式为：求uh：[0,T]→Vh，使得

利用与[6]及[7]相同的方法可以证明, 当t>0时，问题(4)的解是唯一存在的．

(▽(φ-Ihφ),▽v)h=0，

(5)

‖v‖0≤c‖v‖h，

(6)

(7)

(8)

由上面的引理，我们得到

证令u-uh=(u-Ihu)+(Ihu-uh)=w+θ，其中θ∈Vh，∀v∈Vh，由方程(1)和(3)得误差方程

即

(9)

在(9)式中，令v=θt，两边对t从0到t积分，注意到θ(0)=θt(0)=0，有

(10)

其中

由α(u)的有界性及ε-Young不等式

由α(u)的Lipschitz连续性及引理1可知

同理

由(7)式得

取适当小的ε，整理得

由Gronwall不等式得

从而根据插值定理和引理2

定理1得证.

(11)

证G1，G4到G7用定理1的同样证明方法.利用平均值技巧及α(u)的连续性，G2可以估计为

由(8)式得

同定理1，取适当小的ε，整理并利用Gronwall不等式，即得(11).

利用文献[10]的思想，构造插值后处理算子I2h，完全类似于文献[6]的证明，可以得到下面整体超收敛的结果：

注2对于(1)，这里我们只讨论了β=β(X)的情形，而对于β=β(u)，目前还无法得到本文的收敛性结果以及整体超收敛的结论，这也是我们下一步主要研究的问题之一.

参考文献：

[1] PAO C V. A mixed initial boundare value problem arising in neurophysicology [J]. J Math Anal Appl,1975,52(1):105-119.

[2] 程极济,林克椿.生物物理学[M].北京:人民教育出版社,1982.

[3] 万维明,刘亚成. 神经传播方程初边值问题解的长时间行为[J].应用数学学报, 1999,22(2): 311-315.

[4] 张志跃.一类广义神经传播方程的有限元方法及数值分析[J].数学物理学报,2001,21(Z1):647-654.

[5] 王 波.一类神经传导方程的变网络有限元方法及数值分析[J].生物数学学报,2006,1(1): 119-128.

[6] 石东洋,郝 颖. 广义神经传播方程的一个各向异性非协调元超收敛分析[J].生物数学学报，2009,24(2): 279-286.

[7] 石东洋,张熠然.非定长Stokes问题的矩形型各向异性非协调元变网格方法[J].数学物理学报，2006,26A(5): 659-670.

[8] 明平兵.非协调元vs locking问题[D].北京：中国科学院计算数学研究院，1999.

[9] 胡俊.弹性力学问题的Locking-free[D].北京：中国科学院计算数学研究院，2004.

[10] CHEN S C, SHI D Y, ZHAO Y C.Anisotropic interpolation and qua-Wilson element for narrow qudrilateral meshes[J].IMA J Numerical Analysis,2004,24(1): 77-95.