何 青，邹九生

(江西赣南教育学院，江西 赣州 341000)

一道微分几何题的一题多解

何 青，邹九生

(江西赣南教育学院，江西 赣州 341000)

一题多解对基本概念、基本技巧的把握是有效的甚至是不可替代的途径。分别运用微分解析几何和初等解析几何等方法对一道课本上的微分几何习题从多种角度思考，给出了8种解法。

习题;微分解析几何；初等解析几何；多解

例1 证明曲线x=1+3t+2t2，y=2-2t+5t2，z=1-t2为平面曲线，并求出它所在平面方程。

通过对一个例题从多方位角度思考，能使学生更深理解和区别有关定理和知识，甚至能跨教材联系前后的相关课程。

1 初等解析几何证法

证法1 思路分析如下：任取曲线上2点的切线方向，如果2方向不平行，则可以确定由该2方向所确定的平面的法方向。在曲线上取定已知一点(点确定的向量)，证明该方向垂直于曲线上任意点与已知点确定的向量。由此证明曲线上任一点均落在过已知点且垂直该法向量的平面上。

故平面方程为：

(x-1)·2+(y-2)·3+(z-1)·19=0

即：

2x+3y+19z-27=0

证法2 思路分析如下：可以在曲线上任意取出3个特殊点，可以确定这3个点所确定平面的法方向，证明这个法方向与曲线上任意点与该3点中的一点所确定向量垂直。因：

所以：

证法3 思路分析如下：消去参数，求出曲线所在平面。由：

消去参数t整理有：

解得：

2x+3y+19z-27=0

2 微分解析几何证法

设船舶j相对于船舶i运动的轨迹曲线方程为f(x)，那么船舶i到船舶j的最近距离则可看作是船舶i到曲线f(x)的最近距离见图1。

则：

即这条曲线上任意一点处副法向量是固定向量，从而曲线是平面曲线。……