李俊华

(郧阳师范高等专科学校数学系，湖北 十堰 442000)

复合LINEX对称损失函数下几何分布参数估计

李俊华

(郧阳师范高等专科学校数学系，湖北 十堰 442000)

在几何分布可靠度的先验分布为其幂分布时，给出了几何分布可靠度在复合LINEX对称损失函数下的Bayes估计和多层Bayes估计。

几何分布；损失函数； Bayes估计；多层Bayes估计

许多寿命离散型的产品，其寿命服从几何分布，因此对几何分布的可靠性分析具有理论和实际应用价[1,2]。在贝努里实验里，若p为每次实验成功的概率，如果进行了x+1次实验，前x次实验成功且第x+1次不成功(或失败)的概率为：

P(X=x)=px(1-p)x=0,1,2,… 0

(1)

则称随机变量X服从几何分布，其中p为几何分布的可靠度(或成功概率)。

1975年Varian提出了LINEX损失函数[3]：

Lb(θ,δ)=e-b(θ-δ)+b(θ-δ)-1 (b>0)

式中，δ为参数θ的估计；b是该损失函数的尺度参数。当b≠0时LINEX损失函数是一类非对称损失函数。文献[4]提出了复合LINEX对称损失函数，表达形式如下：

L(θ,δ)=Lb(θ,δ)+L-b(θ,δ)=e-b(θ-δ)+eb(θ-δ)-2 (b>0)

(2)

下面，笔者在复合LINEX对称损失函数下给出了几何分布可靠度的多层Bayes估计[5]。

1 p的Bayes估计

证明在损失函数L(θ,δ)=e-b(p-δ)+eb(p-δ)-2(b>0)下，令δ(x)为p的任一Bayes估计， 则其Bayes风险为R(δ)=E(L(p,δ))=E(E(L(p,δ)|x))。欲使R(δ)最小，只需E(L(p,δ)|x)几乎处处达到最小，由于E(L(p,δ)|x)=E((e-b(p-δ)+eb(p-δ)-2)|x)，所以只需证明E((e-b(p-δ)+eb(p-δ)-2)|x)最小，因为δ非负，则最小值不会是0或无穷远点。

记：

h(δ)=E((e-b(p-δ)+eb(p-δ)-2)|x)=eb δE(e-bp|x)+e-b δE(ebp|x)-2

对h(δ)关于δ求导并令其为0，即h′(δ)=beb δE(e-bp|x)-be-b δE(ebp|x)=0，解得：

又因为h(δ)关于δ是严格凸函数，故δB(x)是其唯一的极小值点，进而得到Bayes估计是唯一的。

2 p的多层Bayes估计

若几何分布可靠度p的先验分布为幂分布，其密度函数为：

π(p|a)=apa-1(00，a是超参数)

(3)

则此时θ的Bayes估计由以下定理给出。

定理2取式(3)为p的先验分布，在损失函数(2)下，p的Bayes估计为：

证明对几何分布，取p的先验分布为式(3)，而p的似然函数为L(p)=px(1-p)，根据Bayes定理，p后验密度为：

从而有：

同理可以计算:

所以在复合LINEX对称损失函数下p的Bayes估计为：

引理1在给定的Bayes决策中，对给定的先验分布π(θ)，θ的Bayes的δB(x)是唯一的，则它是容许的。

由于几何分布可靠度估计在复合LINEX对称损失函数下是严格凸的,其Bayes估计必是唯一的，由引理可知该估计是可容许的。

(4)

定理3对几何分布，若p的多层先验分布由(4)给出，则在复合LINEX对称损失函数下p的多层Bayes估计为：

证明根据Bayes定理，p的多层后验密度为：

则在复合LINEX对称损失函数下p的多层Bayes估计为：

其中：

[1]韩明，崔玉萍.几何分布的可靠度估计[J]. 运筹与管理，2001,10(4)：35-38.

[2]韩明. 多层先验分布的构造及其应用[J].运筹与管理，1997,6(3)：32-40.

[3]韦程东，韦师，苏韩. 复合LINEX对称损失下Pareto分布形状参数的E-Bayes估计及应用[J].统计与决策，2009,(17)：7-9.

[4]张睿. 复合LINEX损失下的参数估计[D].大连：大连理工大学，2007.

[5]茆诗松.贝叶斯统计[M].北京：中国统计出版社，1999.

[编辑] 洪云飞

10.3969/j.issn.1673-1409.2011.04.004

O213.2

A

1673-1409(2011)04-0011-03