王玉学， 魏淑慧， 宋洪才， 郭林涛

( 东北石油大学 数学科学与技术学院，黑龙江 大庆 163318 )

在对油田注水管网进行仿真计算及运行优化时，其数学模型所涉及的各管道摩阻因数主要采用管网设计时的原始数据[1-2].由于油田注水管网是高压管道系统，管道直径相对较小，运输介质是经过处理的含油污水，管道腐蚀较其他系统严重，并且管道铺设年代较长，因此管道摩阻因数发生变化.若采用管道铺设时的原始摩阻因数对注水管网系统进行水力计算，压力计算结果与实测结果不一致.因此，需要对油田注水管网的管道摩阻因数进行反演研究.

管道摩阻因数的反演已取得一些成果[3-7]，主要利用多工况数据建立摩阻因数反演的优化模型，利用优化算法对模型求解.无论是传统优化算法还是智能优化算法，都不能保证求得优化问题的全局最优解，因此优化模型的计算结果并不准确.在油田生产中，由于多工况数据不易获得，因此多工况优化模型计算结果还不令人满意.笔者建立单工况管道摩阻因数反演的数学模型，该数学模型的理论解存在并且唯一，给出求解数学模型的高效数值算法.

1 数学模型

假设油田注水管网共有n个节点，已知压力分别为H1,H2,…,Hn；管网共有m根管道，各管道摩阻分别为C1,C2,…,Cm，并设C=(C1,C2,…,Cm)T；qij为第i个节点流向第j个节点的管道流量；Qi为第i个节点的节点流量，Qi已知.

由于连续性方程组

∑qij+Qi=0,i=1,2,…,n

(1)

中至少有1个多余的方程可用其余方程线性表示，应该将其去掉.为不失一般性，去掉最后1个方程，则新的连续性方程为

∑qij+Qi=0,i=1,2,…,n-1.

(2)

根据编号顺序，若第k根管道的两端节点编号为i和j，且i

为了说明方便，将方程组写成矩阵向量形式：

记：q=(q1,q2,…,qm)T，Q=(-Q1,-Q2,…,-Qn-1)T，系数矩阵为A，显然A的阶数为(n-1)×m，其中A的元素由计算机编程确定.

方程(2)的矩阵向量形式为

Aq=Q.

(3)

记管道铺设时的摩阻为经验摩阻C0，利用已知节点压力、压降方程和经验摩阻C0可以求出管道经验流量q0[8].

寻找能够满足方程(2)，又能使‖q-q0‖2达到最小的q，求出q后，利用已知压力和压降方程可以得到管道摩阻因数.以此摩阻因数计算节点压力与已知压力相等，且能使得计算摩阻与经验摩阻在某种意义下最为接近.因此，该问题的数学模型为

(4)

(5)

为了方便利用亏秩最小二乘法求解，需对所求变量进行变形.令q′=q-q0，Q′=Q-Aq0，则问题的数学模型变成求q′，使得

(6)

若能求出模型(6)的解q′，则可得q=q′+q0，利用已知点压力和压降方程可以求出管道摩阻因数C.

2 模型求解

数学模型(6)属于标准的求最小二乘最小范数解的问题，文献[9]证明这类最小二乘最小范数解是存在并且唯一的.

(7)

(8)

利用奇异值分解求最小二乘最小范数解的方法，不仅能够处理秩亏损的最小二乘问题，而且对于方程的个数小于未知量的个数、方程的个数大于未知量的个数、方程的个数等于未知量的个数(包括系数矩阵可逆和不可逆的情况)等能够求其最小二乘最小范数解.

利用单工况数据反演管道摩阻因数步骤：

(1)利用已知数据确定系数矩阵A.

(2)利用已知压力和经验摩阻因数确定各管道经验流量q0.

图1 简化理想注水管网

(3)求满足方程(6)的解q′；此处利用亏秩最小二乘法求解.

(4)令q=q′+q0.

(5)由sij=|Hi-Hj|/|qij|1.852求得sij.

3 实例计算

某一理想注水管网由2座注水站、16个节点、24条管道、9个环构成，节点编号2和15为泵站所在位置，见图1.

首先利用实际摩阻因数得到各节点压力，并将各节点压力作为已知数据；在实际摩阻因数附近人为取定经验摩阻因数，并将经验摩阻因数作为已知数据.利用文中方法反演得到计算摩阻因数(见表1).

表1 理想注水管网摩阻因数反演结果

由表1可以看出，计算摩阻因数反演结果优于经验摩阻因数.管道计算摩阻因数与实际摩阻因数平均相对误差为1.96%，管道经验摩阻因数与实际摩阻因数平均相对误差为5.54%，能够满足工程要求.

4 结束语

建立油田注水管网管道摩阻因数反演的数学模型，数学模型的解存在并且唯一，利用奇异值分解和亏秩最小二乘法求解.与优化方法相比，此方法只需解1个方程组，就可以得到计算摩阻，并且能保证计算压力和实际压力已知，从而提高计算速度和反演效果.通过对理想管网摩阻反演，说明模型的合理性和计算方法的有效性.