黄卫

（南京晓庄学院，江苏 南京 211171）

柯西不等式证明及应用

黄卫

（南京晓庄学院，江苏 南京 211171）

本文探讨了柯西不等式多种证明方法，通过一系列的例题，反映了柯西不等式在函数求最值及其在几何上（距离）的广泛应用.

柯西不等式；证明；应用

柯西不等式是由大数学家柯西（C a u c h y）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.但从历史的角度讲，该不等式应当称为 C a u c h y-B u n i a k o w s h y-S c h w a r不等式.正因为是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步.

在我国的一般高校教育中，微积分、线性代数和概率论是最基本的数学基础课程.表面上看，这三门课存在很大差异，但与此同时它们却往往可以从不同的角度和方法对同一事物作出证明及解释.著名的柯西不等式在不同领域中的证明方式充分说明了人们思维的多样性、渗透性和完备性.认识这一点可以使思维更活跃，也可以使我们的学习更富有创造性.

1 柯西不等式及其证明

1.1 柯西不等式

柯西不等式拥有多种形式，下面是其几种形式.

二维形式：(a2+b2)(c2+d2)≥(a c+b d)2等号成立条件：a d=b c

向 量 形 式 ：|α ||β |≥|α·β|，α=（a1，a2,… ,an），β=（b1，b2，… ，bn）（n∈N，n≥2）等号成立条件：β 为零向量，或 α=λβ（λ∈R）.

1.2 下面给出柯西不等式的证明

证明 1（直接法）

则

证明 2（利用二次型）

即关于 x、y的二次型非负定，那么

证明 3（数学归纳法）

当 n=k+1时

即 n=k-1时，不等式成立
综上所述，得对对 n∈N+，不等式成立，故得证.
证明 4（利用线性相关证明）
经过仔细探讨发现，为了严格而简洁地刻划出（a1,a2,…, an）与（b1,b2,…,bn）具有什么 关系 时才成为柯 西不……