卢 曦 施维成

（1.江苏技术师范学院 数理学院，江苏 常州 213001；2.常州工学院 土木建筑工程学院，江苏 常州 213002）

在矩阵理论中，Hermite矩阵的特征值问题占有十分重要的地位，在概率论、控制优化，经济管理等诸多领域都得到了重要应用.经典的Courant－Fisher定理和Wyel定理是研究Hermite矩阵的特征值的重要工具.本文在两大定理的基础上深入研究了Hermite矩阵特征值的比较问题，包括单个Hermite矩阵自身特征值的比较以及多个Hermite矩阵的特征值相互之间的比较，进一步丰富了Hermite矩阵的特征值的相关内容.

1 引理及基本定义

下面引入Hermite矩阵定义以及准备知识.

定义1［1］矩阵A＝［aij］∈Mn称为 Hermite矩阵，是指A＝AH，其中AH＝.

定义2［3］任意A＝［aij］∈Mn可以写成

引理1［3］（Hermite矩阵的谱定理） 设A∈Mn是给定的，那么A是Hermite矩阵，当且仅当存在一个酉矩阵U∈Mn和一个实对角矩阵Λ∈Mn，使得A＝UΛUH.

引理2［1］（Courant－Fisher定理） 设A∈Mn是具有特征值λ1≤λ2≤…≤λn的 Hermite矩阵，k是给定的整数，1≤k≤n，那么

引理3（Weyl）［1］设A，B∈Mn是 Hermite矩阵，又设诸特征值λi（A），λi（B）以及λi（A＋B）均按递增顺序排列，则对每个k＝1，2，…，n，有

引理4［3］设A，B∈Mn是 Hermite矩阵，并且假定B至多有秩r，则

（c）如果A＝UΛUH是半正定的，其中，U＝［u1，u2，…，un］∈Mn是酉矩阵，Λ＝diag（λ1，λ2，…，λn），且λ1≤λ2≤…≤λn，又如果

2 主要结论

定理1 如果A，B∈Mn是正定的Hermite矩阵，A，B及A＋B的特征值按递增顺序排列，若1≤k≤n，则λk（A＋B）≤min｛λi（A）＋λj（B）：i＋j＝k＋n｝.

证明 令i，j是符合题意的已知正整数，根据引理1，设A＝UΛ（A）UH，B＝VΛ（B）VH，其中U＝［u1，u2，…，un］∈Mn和V＝［v1，v2，…，vn］∈Mn是酉矩阵，

又据Weyl定理有

由确界原理［1］可得

又因为极值是可以达到的，故可以用“min”代替“inf”，结论得证.

定理2 假定A∈Mn是Hermite矩阵，设λ1≤…≤λn是A 的特征值，而λi，1≤…≤λi，n－1是A 的（n－1）×（n－1）主子矩阵A（｛i｝）的特征值，证明

证明 假定An－1∈Mn－1是从A中划去第i行和第j列后得到的，设1≤k≤n－1，由Courant－Fisher定理可以知道

故结论得证.

定理3 若n阶方阵A满足AAH＝AHA，B为n阶 Hermite矩阵，且0≤Reλ1（A）≤…≤Reλn（A），λ1（B）≤…≤λn（B）即A的特征值实部与B的特征值均按递增顺序排列，则

证明 设A的特征值为λ1，λ2，…，λn，由引理，存在酉矩阵U，使得

又由于Reλi＞0，i＝1，2，…，n，可知 H（A）为正定Hermite矩阵.

由Weyl定理可知

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