张秋昭，张书毕* ，侯东阳，刘万利

(1.中国矿业大学国土环境与灾害监测国家测绘局重点实验室，江苏徐州 221116;2.中国矿业大学环境与测绘学院，江苏 徐州 221116)

在惯性技术中，常把惯性测量单元(Inertial Measurement Unit，IMU)误差分为系统性误差和随机性误差，其中系统性误差可以通过测试和标定进行补偿;而随机性误差随时间变化，成为影响IMU精度的关键因素。常用的随机误差辨识方法主要包括功率谱密度(PSD)［1］、Allan 方差［2－3］、时间序列法［5－7］和自相关函数估计［6］法。

谱密度刻画了一个平稳时间序列的功率谱，并特征化其二阶矩的性质。通过研究估计后的谱密度，可以识别引起数据最大变化的频率范围，因此可以用信号的功率谱密度来表征信号的频域特性，可以应用于辨识惯性传感器的随机误差［1，7］。Allan方差是20世纪60年代提出的一种方法，最初被用于研究高精度振荡器的频率稳定性，后来用于辨识惯性传感器随机误差，由于其可以辨识出较多的误差项，得到了大家的广泛重视［2－3］。自相关函数法由于其辨识能力和精度有限［6］，应用不多。

PSD和Allan方差法都需要用近似拟合曲线得到随机模型，但这些估计是两次统计建模，含有较大统计误差［8］，而时间序列分析方法(AR模型等)只需做一次统计分析，建模精度高，并可以得到等效的连续状态方程表达式，常用来作为激光陀螺等高精度惯导系统的建模方法［4］。但AR模型常要求序列为稳态随机过程，而中低精度的光纤陀螺(Fiber Optic Gyro，FOG)常含有趋势项或周期性误差，必须对随机序列进行去平稳化处理［8］。

目前常见的平稳化处理的主要方法［9］:多项式回归、小波分析等。多项式回归由于原理简单易于实现，在平稳化处理中得到了广泛应用。常见的多项式拟合多假设序列含有现行趋势项或二次项，多项式的阶数如何取，取的的阶数太少，拟合精度不高，太高会产生过拟合现象［9］;小波分析可以提取序列的趋势项［10］，但小波基、阈值、分解的层数的选择受主观性影响比较严重。

经验模态分解方法(Empirical Mode Decomposition，EMD)是一种自适应的局部时频分析方法［11］，它根据信号自身的特性将信号自适应地分解成有限个经验模态函数，特别适合非平稳信号分析，在信号去噪、趋势项剔除等方面得到了广泛应用［11－12］。党淑雯等引入基于经验模态分解的提升小波消噪技术，去除光纤陀螺中的1/fγ类型分形噪声［13］。曲从善等采用一种基于经验模态分解的滤波方法对激光陀螺随机信号进行消噪［14］。论文引入经验模态分解，以低精度光纤陀螺KVH-CPT为实验对象，对陀螺输出的序列进行平稳化处理，采用逆序法验证平稳化效果，与小波分析等方法的对比实验结果表明，EMD方法能有效提前陀螺随机序列的趋势项，实现陀螺序列的平稳化处理。

1 AR模型

描述随机序列{xt}某一时刻t和前p个时刻序列值之间的相互关系表示为

若随机系列{εt}是白噪声且和前一时刻序列xk(k＜t)不相关，则这样的模型称为p阶自回归模型，记为AR(p)。

AR(p)模型描述的是这样的一种平稳随机过程:该随机过程在t时刻的观测值xt与t时刻之前的观测 εt－1，εt－2，…εt－p存在相关性，即与过去p个时刻的观测值存在相关性。因此，AR模型常用来描述陀螺的随机噪声［7，9］。

2 平稳化检验

AR模型描述的是随机平稳序列的方法，因此在用AR对随机系列进行建模时必须首先对随行序列进行平稳性检验。

平稳性检验的主要目的是检验陀螺随机误差时间系列是否具有不随时间原点的推移而变化的统计特性。如果随机误差系列是平稳的，再假设序列服从正态分布，则对陀螺随机误差的研究，就可以采用单个样本的时间序列代替总体平均，这就给数据处理带来很大方便。如果不平稳，则需要对数据进行平稳后处理［8－9］。

造成随机序列不平稳的主要原因是其中包含有随时间缓慢变化的趋势项。检验这种非平稳趋势项的一个很有效的方法是逆序法［9］，简述如下:

(1)对于测试数据x1，x2，…，xn，将其分为M小段，然后求各小段的平均值，得到一个大致不相关的均值序列y1，y2，…，yM。

(2)对于下标为i的yi，每当出现yj＞yi(j＞i，i=1，2，…，M－1)时就将其定义为yi的一个逆序，与yi对应的逆序的个数Ai称为yi的逆序数。

(3)记序列y1，y2，…，yM的逆序总数定义为:

(4)记随机整数序列A的均值和方差分别为:

如果λ值处于±2之内，则可接受序列无趋势的假设(在0.05显著水平上);否则拒绝该假设，认为序列为非平稳序列［9］。

3 经验模态分解原理

经验模态分解将信号分解为满足以下条件的模态函数(Intrinsic Mode Function，IMF):零点数目相同与极值点数目相同或至多相差1;函数关于局部平均对称;最终将信号表示成若干IMF与单调残差函数之和:

其中，imfi(t)表示i个IMF，rn(t)是单调残差函数。EMD算法采用所谓的“筛”完成，其基本步骤为:

①求取信号x(t)的极值点;

②分别由极小值点与极大值点求得包络线emin(t)和emax(t);

③计算上下包络的平均值m(t)=(emax(t)+emin(t))/2;

④提取细节d(t)=x(t)－m(t);

⑤对细节d(t)重复进行①至④步骤，直至d(t)为一个零均值，此时d(t)即为一个IMF;

⑥计算残差r(t)=x(t)－imfi(t);

⑦重复运算直至残差不含有IMF。

应用EMD进行多尺度信号分解时，定义如下按尺度标准化模量的累积均值［12］(Mean of the Accumulated Standardized Modes，MASM):

其中m≤nimfi(t)是第i尺度的模量。如果明显偏离零均值，则认为从尺度m开始是信号的趋势变化所致。去趋势项后的信号可以表示为:

4 实验分析

为了验证论文的方法，以KVH－CPT型号开环光纤陀螺为实验对象。静态采集了该光纤陀螺的原始观测值，处理后得到实测陀螺随机信号序列，如图1所示。对其采用逆序法进行平稳性检验，求得统计参数 λ=－5.2613，由前所述 λ∉［－2，2］，拒绝假设，认为该序列为非平稳序列。采用EMD提取趋势项，结果如图2所示，当分层至13层时，其累积均值明显偏离0值，如图3所示。可以认为剩余的信号为趋势项见图2(b)。对去除趋势项重构后的序列采用逆序法求取统计量 λ=0.4935，λ∈［－2，2］，则接受检验，认为该序列为平稳序列。

图1 陀螺信号去偏后的序列

图2 数据一EMD分解图及分解尺度与累加均值的关系

采用偏态系数和峰态系数对其进行正态性检验。偏态系数(Skew Value)ξ和峰态系数(Kurtosis Value)υ的定义为:

其中μxσx分别为序列xt的均值和中误差。偏态系数ξ和峰态系数υ的理想取值为0和3［9］。

同时采用Matlab中函数库中的去趋势项函数dtrend和小波分析方法对该序列进行处理。经过多次实验，发现当小波分析采用‘db4’小波基和分解层数为20层时效果较好。比较得到的结果如表1所示。

采用EMD对随机序列处理前后结果的数值比较见表1。

表1 数据一几种方法处理前后结果比较

为了使论文采用的方法更具说服力，采用上述方法对另一种数据进行同样的处理，结果如图3和表2所示。其中小波分析方法中采用‘db4’小波基，分解层数为18层。

图3 数据二EMD分解图及分解尺度与累加均值的关系

表2 数据二几种方法处理前后结果比较

由表1和表2可以看出，dtrend函数对随机序列的趋势项提取效果较差，小波分析方法和EMD方法，均能分辨出原始随机序列的趋势项，均能明显改善原随机序列的平稳性，正态性也略有改善。但小波分析方法需要多次实验才能确定最佳的小波基和分解层数，而EMD方法能自动判断分解层数，效果较好。

5 结论

AR模型等时间序列分析方法常用来对光纤陀螺随机误差建模，但其只能对平稳序列进行建模和处理。论文以低精度光纤陀螺为实验对象，采用经验模态分解对非平稳信号序列进行平稳化处理，并与小波分析等方法进行了比较实验。结果表明:该方法能有效辨识非平稳信号序列中的趋势项，平稳化后的信号可以采用时间序列分析方法进行建模。

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