马菊香

(石河子大学师范学院数学系,石河子832003)

扩散方程的一种跳点格式

马菊香

(石河子大学师范学院数学系,石河子832003)

通过求解泥沙扩散方程研究泥沙沿水深的分布和含沙量分布沿程的变化规律,构造了一种新的差分格式——跳点格式,并对其理论性质作了分析验证,结果表明:这种格式计算简便,算法简单,稳定性好、精度较高,体现了这种格式的实用性和优越性。

扩散方程;差分格式;稳定性

1 泥沙扩散方程的新的差分格式及算法

1.1 差分格式的构造

泥沙扩散方程经过一定程度的简化和变形,可以化为如下的微分方程[1]:

偏微分方程(1)是一个二维变系数的抛物型方程,对于多维方程,显格式稳定性要求很高,隐格式虽然稳定性较好,但要解大型的代数方程组,并且这些方程组又不是三角形方程组,工作量也非常大。为了克服上面2种格式的不足,笔者建立了一种实用的跳点格式。

为了对扩散方程(1)建立差分格式,先引入差分算子[2-3]:

对方程(1)先构造显式差分格式,有:

则上式显格式可以化简为:

相应地,其隐格式为:

对显、隐格式(2)、(3)引入一个奇偶函数[4]

可以对(1)建立跳点格式[5-6]为:

1.3.1 相容性分析

对式(11)进行 Taylor展开,可得到

由上式可知:在相邻的时间层上,对固定的空间点(xj,yt)上的算法是改变的。下面给出相邻时间层上的计算公式:

由此可看出,相容性就要求当τ→0,h→0时,τ/h→0,即差分方程与微分方程相容的充分必要条件是:τ→0的速度比 h→0的速度快,使τ/h→0,反之,若τ/h不趋向0,那么差分方程就不与扩散方程相容了,所以跳点格式是条件相容的。……