吴毅清, 熊艳清

(1.怀化学院数学系,湖南怀化 418008; 2.湖南师范大学数学系,湖南长沙 410081)

素环上的导子的性质

吴毅清1, 熊艳清2

(1.怀化学院数学系,湖南怀化 418008; 2.湖南师范大学数学系,湖南长沙 410081)

讨论素环李理想上的导子的性质.设R是特征不为2的素环,U为R的满足对任意u∈U,u2∈U的Lie理想1如果R中存在非零导子d使d(u2)ΑZ或[d(u),u2]ΑZ,对任意u∈U,则UΑZ1

素环; 李理想; 导子

1 引 言

随着科学和技术的发展,环理论进展越来越精确和完善,并且环的初步结果已要实践中得到应用1交换性是环的重要性质之一,交换环的研究有助于其它性质的探讨和研究,同时交换代数本质上是研究交换环的,这就使得有关环的交换性的研究变得很重要1素环是一类应用很广泛的环,像我们常见的单环、整环、本质环等都是素环,因此素环交换性的研究成为其中极其重要的一个研究课题1

本文中的R始终表示中心为Z(R)的结合环, [x,y]表示交换子xy-yx,x·y=xy+yx.给定R的两个子集U,V,则[U,V]表示所有形如uv-vu的元素生成的加法子群,其中任意的u∈U,v∈V1则有下列重要等式:[x,yz]=y[x,z]+[x,y]z,[xy, z]=x[y,z]+[x,z]y,x·(yz)=(x·y)z-y[x, z]=y(x·z)+[x,y]z和(xy)·z=x(y·z)-[x, z]y=(x·z)y+x[y,z]1

如果由aRb=(0)可以推出a=0或b=0,那么称R为素环1

称R到R的映射d为R上的一个导子,如果对任意x,y∈R,有d(x+y)=d(x)+d(y),且d(xy) =d(x)y+xd(y)1

R的加法子群U称为R的理想,如果[u,x]∈U,对任意的u∈U,x∈R1特别,若对所有u∈U,有u2∈U,则称U是平方封闭的;定义R的非空子集A的中心化子为

显然CR(A)是R的一个子环.

R的加法子群U如果满足对任意R有Lie,则U称为R的Lie理想.由这个定义可以看出,每个理想一定是Lie理想,反之,即使对于具有性质u2∈U,对任意u∈U也未必成立.

例如,设R是任意一个环,U是由R的幂等元……