张 弩,宗 智,于 馨

(大连理工大学工业装备结构分析国家重点实验室船舶工程学院,辽宁 大连 116024)

局部微分求积法的深水包络孤立波数值模拟

张 弩,宗 智,于 馨

(大连理工大学工业装备结构分析国家重点实验室船舶工程学院,辽宁 大连 116024)

利用局部微分求积法(LDQ)对非线性薛定谔(Schrödinger)方程进行数值求解,分别模拟了单深水孤立波运动,同向双深水孤立波追赶碰撞耦合运动,高阶孤立波振动和孤立波的反射与透射现象,得到各情况下的数值结果。从数值模拟及图像中揭示非线性薛定谔方程的性质和特点,阐述深水孤立波形成的物理意义、运动方式和运动规律,分析在不同初值条件下波形的变化特点,验证了LDQ法对该类问题的有效性。

局部微分求积法;孤立波;非线性薛定谔方程;数值模拟

Abstract:The nonlinear Schrödinger equation describes the evolution of the envelope ofmodulated wave groups.This equation has soliton solutions.Numerical simulationsof Nonlinear Schrödinger Equation are studied using localized differential quadraturemethod.Propagation of a deep-water soliton and interactionof two deep-water solitons in the same direction,the Higher-order soliton′s vibration and the soliton′s reflection and transmission are simulated.The numerical results of every case are obtained.The properties and characteristics of the nonlinear Schrödinger equation areobtained from numerical simulationsand images.The physicalmeanings,motionmodesandmotion lawsof deep-water solitons are discussed.Thewaveform changes at different initial conditions are analyzed.The validity of LDQ method for solving this kind of problems is proved.

Key words:localized differential quadraturemethod;soliton;nonlinear Schrödinger equation;numerical simulation

非线性薛定谔(Schrödinger)方程描述了深水调幅波群的包络随时间的演化。该方程存在孤立波解。对非线性薛定谔波浪传播方程的求解对于研究深水包络孤立波具有重要的理论和实际意义。

关于某些特殊情况的非线性薛定谔方程的解析解,以及精确孤立波解,学者们提出了许多精巧的方法,如行波解法[1];Jacobi椭圆函数展开法[2];分数变换法[3];反散射方法[4];分步傅里叶法[5];齐次平衡法[6];李群约化法[7]等等。但非线性薛定谔方程作为一个非线性偏微分方程,在更一般的情况下无法求出解析解,因此需要进行数值分析探寻其数值解。

孤立波是一种特殊的水波,具有保持其波形和速度不变的特点,孤立波之间能发生强烈的相互作用,但相互作用后仍能保持其各自特点、形状、速度不变。……