朴大雄,张仕林

(中国海洋大学数学科学学院,山东青岛266100)

二阶非线性抛物型方程的周期黏性解

朴大雄,张仕林

(中国海洋大学数学科学学院,山东青岛266100)

将Hamilton-Jacobi方程黏性解的比较定理推广到二阶抛物型方程中,并结合Perron方法证明了二阶非线性抛物型方程的周期黏性解的存在唯一性。

抛物型方程;周期黏性解;Perron方法

0 引言

本文研究非线性抛物型方程

的时间周期黏性解,其中Ω是RN中的1个有界开子集,H和f是连续函数,f是时间周期函数。Bostan和Namah在文献[1]中研究了Hamilton-Jacobi方程的周期和概周期黏性解的存在唯一性,Nunziante在文献[2-3]中研究了不连续时间依赖抛物型方程的黏性解的存在唯一性,但据作者所知非线性抛物型方程的周期黏性解尚没有被研究。本文将文献[1]中的黏性解的比较定理推广到了二阶抛物型方程情形,然后结合Perron方法和比较定理证明了二阶非线性抛物型方程周期黏性解的存在唯一性。关于Perron方法见文献[4-5]。

为了研究方程(1)的黏性解的存在唯一性,需要用到下面Cauchy-Dirichlet问题的一些结论。

其中,u0(x)∈C(¯Ω),Crandall,Ishii和Lions在文献[4]中研究了方程(2)的比较定理,该定理涉及到Crandall和Ishii在文献[6]中最大值原理的相关内容。本文采用记号见文献[4]。

1 一些假设和结果

为证明周期黏性解的存在唯一性,首先来看几个假设和一些结果。为此,考虑下面2个Dirichlet问题:

其中在(3)中Ω是RN中的任意开子集。

Crandall,Ishii和Lions在文献[4]中证明了这样一个定理。

定理1[4]令Oi是RNi中的一个局部紧子集,其中i=1,…,k,O=O1×…×Ok,ui∈USC(Oi),φ是O的一个邻域中的二次连续可导函数。令w(x)=u1(x1)+…+ uk(xk),(x1,…,xk)∈O,假设^x=(^x1,…,^xk)∈O是w -φ在O中的局部最大值。……