任国花,高玉斌

(中北大学 理学院,山西 太原 030051)

元素取自集合 {+,-,0}的矩阵为符号模式矩阵,简称为符号模式.若 A=[ai j]是一个实矩阵,则把由 aij的符号为元素所组成的矩阵称为 A的符号模式,记为 sgn A[1-5].对一个 n阶符号模式 A,A的定性矩阵类定义为

对两个同阶符号模式 A=[aij]和为 A的母模式,A为A～的子模式.显然,符号模式A既是它本身的母模式又是它的子模式.称符号模式A的不是它本身的子模式为 A的真子模式.对 n阶符号模式 A,如果存在一个实矩阵 B∈Q(A),使 B的特征多项式fB(x)=xn,则称 A蕴含幂零,B为幂零矩阵;如果对任意 n次首 1实系数多项式 r(x),在符号模式 A的定性矩阵类 Q(A)中存在一个矩阵B,使得B的特征多项式 fB(x)=r(x),则称 A是谱任意的.显然,如果 A是谱任意的,那么它一定蕴含幂零;如果谱任意模式 A的任意一个真子模式都不是谱任意的,则称 A为极小谱任意的.对一个 n阶符号模式 A,若任一矩阵 B∈Q(A)是非奇异的,则 A是符号非奇异的;若每一个矩阵 B∈ Q(A)是奇异的,则 A是符号奇异的.

2000年 J.M.Drew等人在文献 [6]提出了谱任意符号模式的概念,并据隐函数的存在定理给出了=如果当aij≠0时,ij=aij,则称一种证明符号模式是谱任意的 Nilpotent-Jacobian方法(见引理 1),文献 [6-11]等分别给出了一些 n阶的极小谱任意模式,但其中有 2n个非零元的极小谱任意模式很少.本文给出了一类有 2n个非零元的n阶(n≥5)极小谱任意符号模式.

1 预备知识

引理 1[6]设 A是一个 n阶符号模式,若B∈Q(A)为幂零矩阵,且 B中至少含有 n个非零元bi1j1,.把 B中这 n个非零元用变量 x1,…,xn代替后所得的矩阵记为 X,且记 X的特征多项式为fX(x)=xn+ f1xn-1+ f2xn-2+ …+ fn-1x+ fn.如……