王彩霞，王战伟

(1.华北水利水电学院，河南郑州450011;2.郑州航空工业管理学院，河南郑州450015)

早在1927年，Kermark和Mckendrick就利用动力学方法建立了SIR传染病模型［1］.近20年来，国际上传染病动力学研究进展迅速，国内外众多的专家学者建立了大量的传染病数学模型［2－9］，对传染病的治疗和预防起到很大的作用.

很多传染病不仅可通过接触传染，而且感染者可能通过遗传传给下一代，如肝炎、肺结核等.以往的研究主要集中在水平传染上，也就是接触传染.为了更准确地了解传染病的性态，文献［6－9］研究了一些具有垂直传染的传染病模型.在传染病的研究中密度制约是不可忽略的因素.

1 传染病模型

在考虑传染病垂直传染的基础上同时考虑密度制约得到模型:

式中:x，y分别为易感者和感染者;d为死亡率;β为水平感染率;r为感染者的治愈率;ax，aθy分别为新增的易感者和感染者，0≤θ≤1反应疾病对生育能力的影响;cx(x+y)和cy(x+y)分别为易感者和感染者的密度制约项.假定所有的参数均为正，由模型的生物意义可知假定合理.

2 主要结果及证明

对于模型(1)，假设 N=x+y，有

Γ ={(x，y)∈R2+:x+y ＜ －N}为模型(1)的正不变集.下面所有的分析都是在正不变集Γ内进行.

经计算可得到模型(1)的无病平衡点为E0=(0，0)，E1=(x0，0)=((a － d)c－1，0)，感染平衡点－E=(－x，－y).为了讨论平衡点的稳定性，下面给出模型(1)的雅克比矩阵

2.1 平衡点E0=(0，0)的稳定性

定理1 平衡点E0=(0，0)总是存在，并且当a ＜d时，E0=(0，0)是全局渐近稳定的.

证明平衡点E0=(0，0)的存在性由模型(1)易得.为了研究E0的稳定性，直接代入上述雅可比矩阵可得，当且仅当a＜d时，E0局……