441123 湖北省襄阳市襄州区黄集镇初级中学 张昌林

三角形内外角平分线有关命题的证明及应用

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图1

点评 利用角平分线的定义和三角形的内角和等于180°,不难证明.

证明 如图1,

证明 如图2,

∵DB和DC是△ABC的两条外角平分线,

图2

点评 利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两内角的和以及三角形的内角和等于180 °,可以证明.

穆振英是设计科班出身，毕业于山东工艺美术学院，曾任山东省广告公司设计部主任。她和丈夫丁旭光共同经营国际彩印，工作一丝不苟，对作品一直是精益求精。她会为每位客户提供细致入微的建议，从选择原辅材料、调色、制版、印刷到装帧工艺。穆振英身上的工匠精神深深地影响了身边的每个人，也让这种精神在国彩人身上随处可见。“她让书产生了美感和韵味，好比把村姑变成了城市丽人。”每次谈起穆振英，丁旭光眉眼里都藏着笑，“我真的特别崇拜穆姐，她非常敬业和专业，她的设计非常大胆创新！”

图3

证明 如图3,

点评 利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两内角的和,很容易证明.

命题4 如图4,点E是△ABC一个内角平分线BE与一个外角平分线CE的交点,证明：AE是 △ABC的外角平分线.

证明 如图4,

∴过点E分别向AB,AC,BC所在的直线引垂线,所得的垂线段相等.

点评 利用角平分线的性质和判定能够证明.应用上面的结论能轻松地解答一些相关的比较复杂的问题.

图4

例1 如图5,PB和PC是△ABC的两条外角平分线.

(1)已知 ∠A=60 °,请直接写出∠P的度数.

(2)三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形？

解析 (1)由命题2的结论直接得

图5

点评 此题直接运用命题2的结论很简单.同时要知道三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.

图6

点评 此题是要找出规律的要有命题3的结论作为基础知识.

例3 (2011年鄂州市)如图7,△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点 P,若∠BPC=40°,则 ∠CAP=_______.

图7

解析 此题直接运用命题4的结论可以知道AP是△ABC的一个外角平分线,结合命题3的结论知道

例4 (2003年山东省“KLT快乐灵通杯”初中数学竞赛试题)如图8,在Rt△ABC中,∠ACB=90°, ∠BAC=30°,∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交于E点,连接AE,则∠AEB=_________度.

图8

点评 从上面的做题过程来看题目中给出的“∠A=30°”这个条件是可以不用的.

20110810)