河南省郑州市商业技师学院 王晓红

数学课程中应用意识的强化

河南省郑州市商业技师学院 王晓红

数学课程改革的思路之一就是数学课程应强化应用意识，允许非形式化，这是改革数学课程的关键之处。

一、数学课程中应用意识的发展现状

事实上，数学课程中强化数学的应用意识早已成为发达国家的共识，而我国目前数学课程中数学应用意识十分淡薄，与世界数学课程发展的潮流极不合拍。面对新世纪的挑战，重建的数学课程应该注意将民族的数学应用成果及时纳入教育内容。在课程中及时增加反映在社会发展中的应用知识，并研究培养学生应用能力的对策，从而达到数学课程改革与社会进步相一致。数学课程中强化“应用”既是一个复杂问题，又是一个长期未能解决好的问题。“应用”在数学教育中有许多解释，有些人为的非现实生活的例子，也可能有重要的教育价值，也可以培养学生应用数学的技能，不能一概否定。还有一类传统的例子是过分“现实”的，如直接从职业中拿出来的簿记、税收；联系特殊地方工业的“三机一泵”。这就有一个“谁的现实”问题，这些例子只是社会的一些特殊需要，不足取。数学的重要性主要不在于这样的“应用”，它不可能总是结合学生的“现实”。正如卡尔松（Carson）所言：“现实是主体和时间的函数，对我是现实的，对别人未必是现实的；在我儿时是现实的，现在不一定再是现实的了。”

前面说的都是“现实”例子用来为数学教学服务，当数学用来为现实服务时，即应用数学解决问题时，情况就完全不同了，它是用数学去描述、理解和解决学生熟悉的现实问题。这种问题不仅有社会意义，而且不局限于单一的教学，还要用到学生多方面的知识，在这方面英国数学课程设计中的课程交叉值得学习借鉴。所谓课程交叉就是在某学科教学过程中，突出该学科与现实生活以及其他学科的联系。英国的数学课程交叉主要表现为：从现实生活题材中引入数学；加强数学与其他科目的联系；打破传统格局和学制限制，允许在数学课程中研究与数学有关的其他问题等。

二、数学课程中应用意识的落实

数学课程中强化“应用”意识。即在教材、教学、考试等方面增加应用数学的意识。具体可分为如下三个层次。

1. 用结论、用数学的现成公式，这是最低层次，人们最容易看到的地方。

2. 用方法，如方程的方法、图表的方法、分析与综合逻辑推理的方法等。

3. 用思想研讨问题的一般过程，观察、分析、试验；从需要与可能两个方面考虑问题；逐步逼近；分类与归一；找特点、抓关键；从定性到定量等。通过用数学，学生才能理解知识、掌握知识；通过用数学，才能训练学生的思维。

值得注意的是，与课程中强化数学的应用意识相关的一个问题就是允许非形式化。首先，应恰当掌握数学理论形式化的水平，加强对理论实质的阐述。笔者非常赞同“允许非形式化”的观点，“不要把生动活泼的观念淹没在形式演绎的海洋里”，“非形式化的数学也是数学”。数学课程要从实际出发，从问题出发，开展知识的讲述，最后落实到应用。例如，极限概念可以在小学圆面积公式、初中平面几何中圆周率的近似值的求法、高中代数等比数列求和等处逐步孕伏，在学微积分时正式引入，只要不在形式化上过分要求，学生是不难接受并能加以运用的。其次，应恰当掌握对公式推导、恒等变形及计算的要求。随着计算机的普及，21世纪对手工计算的要求大大降低。从增强用数学的意识讲，也应降低对公式推导与恒等变形的要求，否则没有时间来讲应用。要充分利用几何直观、形象地加以说明，否则应用的重点难以突出，生动活泼的思维会淹没在繁难的计算和公式推导中，增强用数学的意识就会落空，学生思维水平也不会提高，新内容的引入将障碍重重。

三、数学建模在数学课程中的应用

在此，笔者要强调的是，要使数学课程中应用意识的增强落到实处，一个重要的举措就是数学课程应对数学建模给予极大的关注。数学模型是为了一定目的对现实原型作抽象、简化后所得的数学结构，它是使用数学符号、数学式子以及数量关系对现实原型简化的本质的描述。而对现实事物具体进行构造数学模型的过程被称为数学建模。也就是说，数学建模一般应理解为问题解决的一个侧面、一个类型。它解决的是一些非常实际的问题，要求学生能把实际问题归纳（或抽象）成数学模型（诸如方程、不等式等）加以解决。从数学的角度出发，数学建模是对所需研究的问题作一个模拟，舍去无关因素，保留其数学关系以形成某种数学结构。从更广泛的意义上讲，建模则是一种技术、一种方法、一种观念。

数学课程内容应是数学科学内容的“教育投影”，数学应用范围的不断扩大，迫切要求数学课程作出反应。人们发现，这些应用都有一个共同点，就是把非数学问题抽象成数学问题，借助于数学方法获得解决。因此，数学模型作为一门课程首先在一些大学数学系里被提倡。后来，人们又发现，传统的中小学数学课本中的应用仅仅是把日常生活中的经济、商业、贸易和手工业中的问题用一定程序表达，内容只涉及计数、四则运算和测量等，这种应用无论是方式还是内容，与数学在现实生活中的应用相比，相差甚远。于是数学建模作为一种教学方式在中小学受到重视，让学生通过“做数学”达到“学数学”的目的。

目前从世界范围来看，各国课程标准都要求在各年级水平或多或少地含有数学建模内容，但各国的具体做法又存在着很大差异，主要有以下几种：两分法，多分法，混合法，课程内并入法，课程间并入法。

上述做法孰优孰劣，一般很难直接评判，只能据不同的情况采取不同的做法。现在有一种愿望：在中小学引进跨学科的、以社会为基础的设计工作，在这种设计工作中，学生会看到数学如何才能够应用到真正的“现实生活”问题上去，并且可望获得进一步学习的动力。实际上关于数学建模的学习包括了各种水平的活动，现在有必要研究许多模型，明确“数学模型化”的确切意图。20世纪的一个重大挑战不仅是提供在学校能够学的应用的实例，而且是更深入地研究各种类型应用的教育目的和正确性，所以学生如何应用数学必定是21世纪数学课程要解决的一个主要问题。