刘一枝，杨喜陶

（湖南科技大学 数学学院，湘潭411201）

0 引 言

考虑如下具有偏差自变量的瑞利方程

其中f，p，τi∈C（R，R）且p，τi以T（T ＞0）为周期；gi∈C（R2，R），（i＝1，2，…n），且关于第一个变量以T为周期.

很多学者对某些二阶微分方程正周期解的存在性作了较为深入的研究，见文献［1－4］.而对瑞利方程正周期解存在性的研究相对较少.文［1］研究了当n＝1时，系统（1）正周期解存在性，由于各种因素，时滞可能不只一个，因此研究含有n个时滞的瑞利方程的正周期解存在性是有意义的.本文将建立方程（1）存在正的T周期解的条件.

1 预备知识及引理

引理1［5］设X 和Y 是Banach空间.L：D（L）∈X→Y是指标为0的Fredholm算子，

N：X→Y在Ω上是L－紧的，Ω是X上的有界开子集.若

（1）Lx ≠λNx，∀x∈∂Ω ∩D（L），λ∈ （0，1）；

（2）Nx∉ImL，∀x∈Ker L∩∂Ω；

（3）deg｛QN，∂Ω ∩ Ker L，0｝≠0；

引理2 若x（t）是连续可微的以T为周期的函数.那么对 ∀t＊∈（－∞，＋∞）

引理3［6］x（t）是两次连续可微的以T为周期的函数，那么

2 主要结果

定理1 假设存在正常数d＞0，bi≥0，C1＞0

（d）｜f（x）｜≤C1，∀x∈R；

（e）（b1＋b2＋…bn）T2＜4π，则（1）至少有一个正周期T的解.

证明：设X＝ ｛x｜x∈C1（R，R）：x（t＋T）＝x（t）｝

于是0｝是Y的闭子空间，dimKerL＝1＝CodimImL，因此，L是指标为0的Fredholm算子.

令 P ∶ X→KerL 为 Px（t） ＝ x（0），Q ∶

P和Q是连续的投影，满足ImP＝Ker L，Ker Q＝ImL＝Im（I－Q），

由（2）可知Lx ＝λNx，λ∈ （0，1）等价于

若x＝x（t）是方程（4）的任意正T周期解.则∃ξ∈ ［0，T］使得

那么

由于f（0）＝0，（4），（5）得

由条件（a）知存在1≤i≤n使

因为x（t）是方程（4）的正周期解，

令ξ－τi（ξ）＝kT＋t＊，t＊∈ ［0，T］，k是整数.则

由引理2得

由引理2可得：

令M ＞max｛M0，M1｝和Ω1＝｛x∈X∶0＜x＜M，｜x′（t）｜＜ M｝.

从而引理1的条件（2）满足

定义变换H如下：

对 ∀x∈∂Ω1∩Ker L和u∈［0，1］有H（x，u）≠0，由同伦不变定理可得：

则由引理1可知（1）存在正周期T的解.

［1］ F.M..Atici，G.Sh.Guseinov：On the Existence of Positive Solutions for Nonlinear dif－ferential Equations with Periodic Boundary Conditions.J.Comput.Appl.Math.，2001，132：341－356.

［2］ X.Yang：Multiple Positive Solutions of Second－order Differential Equations.Nonlin－ear Anal.，Theory Methods Appl.，2005，62：107－116.

［3］ X.Huang，Z.Xiang，On Existence of－periodic Solutions for Delay Duffing Equ ationx″＋g（t，x（t－τ（t））＝p（t），Chinese Sci.Bull.，1994，39：201－203.

［4］ T.A.Burton，Stability and Periodic Solution of Ordinary and Functional Differentia－l Equations，Academic Press，Orland，FL，1985.

［5］ R.E.Gaines，J.Mawhin，Coincide Degree and Nonlinear Differential Equations，Lectu－re Notes in Mathematics，vol.568，Spring，Berlin，1977.

［6］ J.Mawhin.Periodic Solutions of Some Vector Retarded Functional Differential Equations［J］.J.Math.Anal.Appl.，1974，45：588－603.